数学哲学（三） (5-4)

P1 如果数学公理为真，那么人们必须承诺这些公理中数学词项指代的抽象实体存在。

P2 我们最好的科学理论为真或近乎为真或至少它是最好的。

P3 数学对于我们最好的科学理论是不可或缺的。

C 如果我们承诺我们最好的科学理论，则我们必须同时承诺数学，如此我们也必须承诺数学实体存在。

这个论证的结论是数学的本体论和真值双实在论立场。对于Quine这样的数学自然主义者而言，这个论证的一个关键在于，所有“存在”都只有一个意义，即对象在我们的科学理论中的应用，无论这个对象是数学这样的抽象对象，还是像椅子这样的日常对象，抑或电子这样的科学对象，它们都只可能在一种意义上存在，即科学的意义上。

在这个论证的基础上，Quine还是一个数学的经验主义者，他反对任何的先天知识，数学知识的获得是通过信念之网(web of belief)的整体论(holism)的形式：我们所谓的知识或信念的整体，从地理和历史的最偶然的事件到原子物理学甚至纯数学和逻辑的最深刻的规律，是一个人工的编织物。它只是沿着边缘同经验紧密接触。(Quine 'Two Dogmas of Empiriccism' 1951)

在Quine看来，数学(同逻辑一起)在这个网中处于中心位置，在于1.它远离我们的感官经验；2.它联系着整个网中更多的部分。但是这个中心位置并没有把数学从这张网中与其他部分彻底区分开，在数学和自然科学之间没有明确界线(再说一遍，没有明确界线不等于没有区别)，数学和科学在它们的交界处交织在一起，人们必须接受科学为真，从而也必须接受数学为真，原则上数学陈述的真值是可修改的，尽管这将导致我们整个信念之网的大幅震荡，即我们同时还需要修改网中其他大量其他(数学和科学的)陈述的真值以达到平衡，我们之所以认为5+7必然等于12仅仅是一个心理学事实，而不是关于数学的任何事实。数学和科学构成的整体：我们的信念之网却并非总是不变的，它可以，实际上也确实正在不停发展，但是除了接受我们现有的信念之网是真的以外我们别无选择，对此Quine引用了Neurath的一个著名比喻：我们就像是在广阔大海上航行的水手，必须不停修复我们的船只，但不能在船坞中将整艘船拆卸并用最好的零件重建这条船。

在这里，数学的合法性不是从任何哲学中获得的，而是从它在科学的使用中获得的，数学哲学家不过是数学的女仆，甚至是在试图多管闲事，哲学是处于最后位置的(philosophy-last-if-at-all-principle)，而不是传统哲学家所设想的哲学在先(philosophy-first-principle)。这正是数学的自然主义的一个核心主张，数学哲学仅仅负责描述数学和数学实践，它对数学没有规范性意义。

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