数学哲学（二） (5-3)

在今天，逻辑主义已经有了新的发展，也就是新逻辑主义(neo-logicism，有时也作neo-Fregean)，支持者包括Crispin Wright, Bob Hale等等。他们的主张主要是(1)数学是先天可知的，且可由分析的规则推导出；(2)数学存在于关于对象的理想王国中并独立于人类的心灵。这是一种典型的本体论和真值实在论立场，那么数学是如何被认识的呢？通过我们使用数学语言时表达的意思的知识，也就是说是通过语言的方式。显而易见的，新逻辑主义的核心主张是从Frege那里继承的，它相较于传统的逻辑主义的进步总体表现在诸多技术问题上，他们针对传统逻辑主义所遇到的问题对一些概念和技术做出了改进。新逻辑主义计划(neo-logicism program)即是Frege已有工作在今天的重构，和Frege一样目前主要集中在数论上，还需要被扩展到全部数学上。

3.2 形式主义(Formalism)

众所周知，早在1976年人们就通过计算机证明了四色定理。这是如何做到的，因为看上去计算机似乎并不知道它自己在干什么，它仅仅不停对存储器内的数据进行处理，经由这样的方式进行一个数学证明？让我们回忆长除法(多项式除法)，在这个计算过程中没有任何技巧可言，我们仅仅将一个复杂的操作分解为多个机械化的小操作。写一个程序实现这一功能并不复杂，在这里多项式是否实在根本就是无关的，确切的说，它到底表示什么也无关，有的仅仅是一系列操作。

形式主义大致上就是这样一种观点，所谓数学实际上是字符列表和一系列允许的操作规则，数学的本质就是对符号的操作，至于这些符号是什么，则不属于数学。例如我们可以将等式5+7=12变形作5+7-12=0，我们把等式右边的项移到左边末尾，并在前面加上-号，然后在右边写下0，在这个变形过程中符号5、7、12以及+-到底是什么并没有关系，基于同样的规则我们可以把12=12变形作12-12=0这样。

显然的形式主义对于数学对象是一种唯名论立场，在其中有很多内部分歧，例如我们问数学究竟是关于什么的，一种激进的形式主义者可以认为，它不关于任何东西或者仅仅关于这些写在纸上的符号，所谓数学运算或证明就像是用这些符号进行某种游戏，类似于下象棋(后期维特根斯坦也许持有这样一种观点)；而一种温和的形式主义者可以认为，这个问题并非是一个数学问题，数学可以是关于确实实在的数学对象或不关于任何东西，无论任何，这个问题不属于数学，通过这样的方式，数学的本体论问题和数学实践就得到了分离。类似的，在科学中反实在论或说工具论也有类似的观点，电子并非，或未必是实体，它仅仅是一个假设，一套工具。

当然，形式主义者没有必要在所有数学上都持有形式主义立场，例如我们也许会认为实数在某种意义上比起(虚部不为0的)复数更加“实在”一点，形式主义者可以仅仅在那些困难的数学部分选择形式主义立场，停止追问这些符号的意义，而仅仅关注关于这些符号的操作规则。正因如此，数学家们往往倾向于成为一个形式主义者，因为如此他们不会被数学哲学的诸问题所困扰(这里的考虑有一方面类似于哥本哈根解释之于量子力学)。引用Fields奖得主Cohen的说法

实在论可能是数学家最易接纳的立场。而直到他意识到集合论中的一些困难时，他才开始怀疑这个立场。如果这个困难让他沮丧，他就会冲向形式主义的避难所。(Cohen 'Comments on the Foundations of Set Theory' 1971)

显而易见的，形式主义完全不能解释为什么数学是可用的，一种温和的形式主义也许可说不致力于解释这一点，但对于那种激进的形式主义可应用性却是一个无法回避的问题。

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