数学哲学（二） (5-2)

数学和逻辑学在历史上曾是截然不同的研究领域，但在现代都有了发展：逻辑学越来越数学化而数学越来越逻辑化。其后果是，现在已不能在二者之间划出一条界线；事实上二者是一回事……证明二者是同一的是一个细节问题。(罗素 ＜Introduction to Mathematical Philosophy＞ 1919)

逻辑主义的开端来自Frege，他完成了一系列极其精细而富于技术化的工作，例如在不定义自然数的前提下仅仅依靠逻辑学资源定义一一对应的概念。在这里描绘这些技术性的工作并不合适，但它确实是非常精彩而天才的。Frege本人仅仅讨论了算术(数论)，而没有将其他数学分支也逻辑化。对于几何学，Frege则是一个康德主义者，认为关于空间的几何知识是先天综合的。

尽管Frege的工作极其精彩，然而罗素先生的一封信还是使他遭遇了“一个科学家所能遭遇的最尴尬的情况：当他的工作即将完成之际，其基础却垮掉了(Frege本人对这封信的评价)”，这就是众所周知的罗素悖论。为了解决这个问题，罗素本人(和Whitehead一起)对逻辑主义进行了进一步的发展，这些技术性的工作不具体讨论。一言以蔽之，通过引入两条有争议的公理(预设)，即可归化公理和无穷公理(当然还有选择公理)，他完成了将他那个时代除了集合论之外所有数学的逻辑化(包括Frege没有处理的几何学在内)。

需要着重说明的是，Frege本人在数学上持有本体论和真值双重实在论立场，而罗素则持有本体反实在论立场(我不太确信他在真值问题上的看法。以及罗素出了名的善变，这只是针对他某一时期)，这种立场也促使了他们在非直谓定义上的决定性分歧。回到我们的问题上去，Frege认为数学和逻辑都是实在的，并因此是可用的，同时它还能通过心灵把握逻辑的方式为心灵所把握。数学是通过语言(语义)分析被还原到逻辑上去，而心灵如何把握实在的逻辑则是另一个问题。罗素把数、函数定义为不同类型的类、类上的关系、类上关系上的关系等等，那么我们仍然可以问数到底是什么，和Frege不同，罗素认为类只是逻辑虚构，从而数学对象也只是逻辑虚构，即一种唯名论立场。那么为什么这样的数学是可用的，我个人不太确信罗素本人对这个问题如何回答(罗素的著作太多了，而且他又不停地改变自己的观点和立场)

在罗素以后，逻辑主义为维也纳圈子(Vienna Circle)的逻辑实证主义者继承，其中的代表人物是Carnap。逻辑实证主义者拒绝传统的本体论问题，在Carnap看来，数学和逻辑是一个语言框架，人们可以自由规定这个框架，在这之后才有了框架内的问题，比如一个物理学或生物学问题。这个框架不是先天存在的，而是一个约定(convention)，或者说是一个习俗(tradition)，之所以选择这个框架而不是另一个可能是由于实用性等考虑。诸如数学对象是否实在并非是一个框架以内的问题，而任何问题都必须被限制在某个框架中，故而它是一个无意义的外部问题。而数学命题的真是关于这个框架的知识，它是先天的在于它不依赖于任何框架内的经验。(看上去Carnap好像是说数学是约定，但这样的说法并不准确，准确来说我们应对于数学是什么这样的问题保持沉默(不能问或说无意义的问题))

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