数学哲学（二） (5-4)

希尔伯特是一个著名的形式主义支持者，他采用隐定义(implicit defination)的方式去定义数学概念，所谓数学概念不过是满足相应公理的词项，“终有一天，我们能够用桌子、椅子、啤酒杯代替点、直线和平面”，在这句名言中，希尔伯特表明了他的立场，“点、直线、平面”究竟是什么根本是无关的，我们有的仅仅是例如“两个点确定一条直线”这样的约束条件(公理)，把它理解作“两把椅子确定一张桌子”也没有任何问题，数学词项不关于任何东西或可以关于任何东西，或者更确切说，它关于什么和数学是无关的，数学是无意义的(have no meaning, 不是make no sense)。

在以其为名的希尔伯特纲领中，希尔伯特试图通过形式主义的方法严格化数学的所有分支和逻辑。引用冯诺依曼对该纲领的概括，包括四个步骤：(1)枚举所有数学和逻辑中用到的符号；(2)明确特征化这些符号所有的合法组合方式，称为“公式”；(3)提供一个构造程序，使我们能够成功构造所有可证的公式；(4)证明所有公式可由(3)中方式证明，当且仅当对其所对应陈述的检查显示它是真的。这其中，(1)(2)(3)对数学各个分支的公理化已经完成了，而(4)则代表了希尔伯特的野心(“我们必须知道，我们必将知道”)，很遗憾，这个野心落空了。

击落它的就是哥德尔的两个不完全性定理，几乎可以说，这两个定理摧毁了形式主义，在这之后就很少有数学哲学家支持形式主义了(为希尔伯特默哀)。但在哥德尔定理的影响下为形式主义做改进辩护并非是不可能的，通过一些极富技术化的细节工作，这其中最有名的形式主义支持者Haskell Curry(当然最近有学者认为他实际上是一个结构主义(结构主义的涵义见3.4)者('Curry’s Formalism as Structuralism' Jonathan Seldin 2011))。

让我们简单回顾一下重点，形式主义是一种典型的唯名论立场，它的最大困难，也一直没有得到充分解释的是为什么数学是可用的，这个问题同时还联系着另一方面，一些批评家认为形式主义遗漏了数学的内在意义，而这对于数学是极其重要的，数学不仅仅是符号操作。

3.3 直觉主义(Intuitionism)

三大主义中最“恶名昭著”的莫过于直觉主义了，因为直觉主义对排中律和非构造型存在证明的拒斥。不过我猜直觉主义的某些观点也许会为很多人所赞同或至少找不出什么问题。

在传统的直觉主义者看来，数学对象的存在是依赖于我们的心灵的，故而他们是关于数学对象的观念论者(我们刚刚提到的逻辑主义大多是实在论，而形式主义则是唯名论，这个关键的分歧一再出现)。更准确说，数学对象是我们心灵的构造。如果说逻辑主义和形式主义都或多或少受到了康德的影响(迫于篇幅，本篇中并没有提到形式主义和康德是怎么联系的)，那么直觉主义的宗师布劳威尔才算是一个真正的康德主义者，他和康德一样把数学诉诸于我们的直观，由于非欧几何和射影几何的出现使得康德的空间直观受到了很大冲击，布劳威尔选择了我们的(康德式)时间直观。

(直觉主义)把生命的诸时刻分离为质地不同的诸部分思考，只是在仍然被时间分割的情况下才能重新统一起来，它是人类智慧的基础现象，通过抽离它的情感内容得到数学思维的基础现象，即赤裸的two-oneness(一个自造词，不知道怎么翻译)的直觉。这种two-oneness的直觉，即这种数学的基本直觉不仅创造了1和2，甚至创造了所有有穷序数，因为two-one中一个元素可以被考虑为一个新的two-one，这一过程可以无限重复。(Brouwer ＜Intuitionisme en formalisme＞ 1912)

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