数学哲学（二） (5-1)

一方面，数学可以被应用于现实世界中，并因此取得了非凡的成功；一方面，如今的数学语言是高度抽象公理化的，看上去与现实没有直接关系；一方面，作为人类，我们对一些简单的数学概念，比如实数/整数，欧式几何等有着一种直观，这种直观可能是错的或不精确的(确切一点说，这里的“错”和“不精确”需要一个“对”和“精确”参考系，但并非所有理论都承认这样的参考系是存在的)。可以把这三个方面简单记忆作数学与“世界、语言和心灵”之间的关系(也与上一篇中的柏拉图主义、唯名论和观念论相对应)。

当然这样的表达很不严谨，有很多细节需要进一步刻画和澄清，在上一篇中已经都涉及到。之所以要在开头重新刻画问题，是因为如下考虑：在上一篇结尾我提到20世纪初的三大主义之争早就不是主流了，重要的是，它们的争论和我们这里关注的问题并不完全一样。

准确一点说，传统的三大主义争论的核心问题是，在规范性意义上数学是什么，或者说数学应该/能是什么。它们争论的重点是，在数学实践中什么是合法的，比如直觉主义拒绝排中律，非构造的存在性证明，形式主义认为数学陈述的意义和数学推理是无关的等等，这样的问题和那个时代是息息相关的，因为非欧几何、集合论、维尔斯特拉斯函数之类出现，人们意识到数学需要更高程度的严格化和形式化，三大主义从而出现。但在今天，对数学基础的追寻早已不是数学家关注的重点(但并非是因为这个问题已经解决了，而更像是数学家认为这个问题没法解决了，不再展开)，传统三大主义的争论点也就不再是如今数学哲学争论的中心问题(也同样的，这并非是因为数学哲学已经就这个问题的回答达成了共识)。我刚刚刻画的问题不是在规范性意义上数学应该是什么，而是单纯的问在描述性意义上数学是什么，或者说数学实际上是什么。一个简单的理解，希尔伯特的形式主义并没有回答数学为什么是可用的，但准确来说，它根本不致力于回答数学为什么是可用的，形式主义在数学是否实在这样的问题上是中立的。但就我们这里的关注而言，我想把考虑的重点放在描述性意义的问题上来。严格来说，在这之后还有在数学哲学中的描述性和规范性之间的关系问题，虽然我个人对此很有兴趣也有一定了解，但它比较复杂，涉及的面很广，所以不会在这个系列中讨论它。

3 数学哲学的主流派别

在介绍之前先说清楚，这远不是全部派别。而且这个介绍是蜻蜓点水式的，不会涉及到其内容的方方面面，在每个具体的派别中可能又会有多个不同的理论分支。

3.1 逻辑主义(logicism)

逻辑主义的开创者包括Frege，Whitehead和Russell等人(他们也恰恰是分析哲学的创始人，但这并不意味着分析哲学，尤其是如今的分析哲学都支持逻辑主义)。

学过哲学的都知道，康德认为数学，至少部分数学知识是先天综合的(不了解这个概念的可以参阅文末的注释1)。为了解释这样的先天综合知识是如何可能的，康德诉诸于认为我们有某种形式的直观。但诸如此类的做法只是把关于数学哲学的困难转移到更为困难的“直观”概念上了。Alberto Coffa( 1991)指出，整个19世纪西方哲学的主要课题就是如何不援引康德的直观来解释数学哲学的困难。逻辑主义的出发点即是从康德的困难这里来的。简单来说，逻辑主义同意康德认为数学是先天知识，但他们认为数学并非是综合的，恰恰相反，数学是分析的(准确来说，这里的分析概念较之康德已经发生了一些变化，不展开)。数学的概念与对象可用逻辑词项定义，且在这些定义下，数学的定理可由逻辑原理推理出来。用一个略带夸张的说法，数学仅仅是逻辑。数学对象，例如直线、函数等等不过是性质、概念、类等逻辑概念的组合。

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