数学 (4-2)

定义强嵌入关系(Va*∈，R*)＜*(Vk，∈，R*)表示“对任意R∈Vk+1，均有α＜k，使得(Va，∈，RnVa)＜(Vk，∈，R)”其中a*为这些α的收集，＜*为初等嵌入的收集，R*是一串符号集，实际意义视情况而定

二重链的情况

如(Va*,∈,R*)＜1*(Vβ*,∈,R*)＜2*(Vk,∈,R*)意义为“对任意R∈Vk+1，均有β＜k，使得(VB,∈,RnVB)＜(Vk,∈，R)，且对任意R∈Vβ+1，均有α＜β，使得(Va,∈,RnVα)＜(VB,∈，R)”其中＜1*与＜2*是不同的初等嵌入收集k为1-反射基数，当且仅当存在α＜β＜k，使得(Va*,∈,R*)＜1*(Vβ*,∈,R*)＜2*(Vk,∈,R*)

k是n-反射基数，当且仅当存在一条长为n的二阶参数强嵌入初等链：(Vk1,∈,R*)＜*'(Vk2,∈,R*)＜*2...<*n(VK,∈,R*)

k是α-反射基数，α＜k，且α是极限序数，则存在一条α长的二阶参数初等链，且(Vk，∈，R*)为此链的并

k是Ω+1-反射基数，当且仅当对于任意R∈Vk+1都有α＜k满足(Va，∈，RnVa)＜(Vk，∈，R)，且α是Ω-反射基数

k是Ω+2反射基数，当且仅当存在二重强嵌入链：

(Va,∈,R*)＜*1(Vβ,∈,R*)＜*2(Vk,∈,R*)，且α是Ω-反射基数

k是Ωx2-反射基数，当且仅当有一条长度为k的Ω-反射基数组成的初等链，且(Vk，∈，R*)为它们的并

k是Ω^2反射基数，当且仅当有一条长度为k的Ω·α-反射基数组成的初等链，且(Vk，∈，R*)为它们的并

总结：反射性基数是正确基数的不可达基数版本，反射基数是马洛基数的强化，对弱紧致基数的逼近

可反射基数是对反射原则的反射

广义反射基数

称K是广义反射基数，当且仅当存在α＜k，使得(Va，∈，Va+1)是(Vk，∈，Vk+1)的初等子结构，放到V上就是(Vk，∈，Vk+1)非平凡初等嵌入到(V，∈，C)，其中C是所有真类的收集，这个大基数远超不可描述基数，ERP都只能属于它的小弟

伯克利基数

伯利克基数是ZFC集合论模型中的基数κ，由休·伍丁（Hugh Woodin）在 20 世纪 90 年代初于加利福尼亚大学伯克利分校的一次研讨会上提出

简单来说，伯克利基数具有这样一种性质：无论考虑怎样的包含它的传递集以及比它小的序数，都能找到这样一种特殊的映射关系，满足相应的条件

伯克利基数与选择公理不兼容

对于任意的传递集 M 定义 S（M）为包含所有非平凡初等嵌入 j:M→M 的族proto-Berkeley cardinal：

S(M) 内的所有成员在crit(j)＜δ 处使得 δ∈M 且存在一个 j∈S(M).对于一切传递集M，满足κ∈M 均存在 j:M→M 且crit(j)＜κ

无界闭伯克利基数

①：在基数κ是伯克利基数下，如果对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α＜κ，都有一个初等嵌入j:M

该基数是在ZF集合理论的背景下定义的，不符合选择公理

如果存在一个伯克利基数，那么就有一个“对力迫扩张绝对”，它使最小的伯克利基数有共尾性ω

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