数学 (4-1)

司寇伦基数

如果一个基数κ满足，对于任意一个集合论语言的语句集∑，如果∑在某个基数大于等于κ的传递模型中可满足，那么∑在某个基数为κ的传递模型中也可满足，这样的基数κ就被称为司寇伦基数

一阶逻辑的司寇伦基数等价于阿列夫零，二阶逻辑的司寇伦基数等价于某些足够大宇宙的∏2正确基数

超世界基数

k是k-世界基数，即对于任意α＜k，k都是α-世界基数且是α-世界基数的极限

不可展开/折叠基数

①：一个基数κ 是强 λ 不可折叠的当且仅当对于每个ZFC负幂集的基数 κ 的传递模型 M使得 κ 在M中并且M包含其所有长度小于 κ 的序列，存在一个非-将M的平凡基本嵌入j到传递模型“N”中，其中 j 的临界点为κ，j (κ) ≥ λ，并且 V(λ) 是N的子集

②：基数κ是λ不可展开的当且仅当对于 ZFC 的基数κ的每个传递模型 M（负幂集使得κ在 M 中并且 M 包含其所有长度小于κ的序列），有将 M 的非平凡基本元素 j 嵌入到传递模型（N）中，其中 j 的临界点为κ且 j(κ)≥λ

不失一般性，我们也可以要求N包含其所有长度为 λ 的序列

同样，一个基数是强可展开的当且仅当它对于所有 λ 都是强 λ-不可展开的

强可展开基数

形式上，基数κ是λ不可展开的当且仅当对于ZFC的基数 κ 的每个传递模型 M负幂集使得 κ 在M中并且M包含其所有长度小于 κ 的序列，有将M的非平凡基本元素j嵌入到传递模型中，其中 j 的临界点为κ 且j (κ) ≥ λ

一个基数是可展开的当且仅当它对于所有的序数λ 都是 λ-不可折叠的

超展开基数

一个基数κ被称为超展开基数，如果对于任意的λ≥κ，都存在一个初等嵌入j：V→M，使得κ是j的临界点，M是传递类，并且对于任意的α＜λ，都有j“Vα⊆M，且M的基数至少为λ，并且在M中，j(κ)是λ超紧致基数

这些性质本质上是强和超紧基数的较弱版本，与V = L一致

许多与这些基数相关的定理都可以推广到它们的可展开或强展开对应物

例如，强展开的存在意味着适当强迫公理的稍弱版本的一致性

高跳基数

κ是高跳基数当且仅当在临界点κ时存在一个初等嵌入 j:V→M间隙θ使得 Mθ⊆M：M包含了所有的长度为θ的M的元素序列。

高跳基数是基本嵌入j的关键点:V→M使得M在长度sup{j(f)(κ)|f:κ→κ}。

超级高跳基数

基数κ为超级高跳的当且仅当存在拥有高度为Ord（宇宙V的）的高跳嵌入

正确基数

一个基数κ被称为正确基数，如果对于任何一个公式φ和任何小于κ的参数，若V中满足φ，那么Vκ中也满足φ，且反过来也成立，也就是说，Vκ这个集合层次与整个集合论宇宙V在涉及小于κ的参数的公式判断上是一致的

如果一个基数κ满足：对于任何一阶逻辑的∏₁语句φ，如果结构Vκ（即由小于κ的所有集合构成的集合论结构）满足φ，那么整个集合论宇宙V也满足φ，这样的基数κ就被称为∏₁正确基数

将“任何一阶逻辑的∏₁语句φ”中的“一阶”与“∏₁”改为“二阶”与“∏₂”就可以得到∏₂正确基数，之后的以此类推

例：∏₍ₒₘₑ₉ₐ₎正确基数/∏＿ω正确基数：

如果一个基数κ满足，对于任何一个二阶逻辑的形如∀x₁∃x₂∀x₃∃x₄……（其中量词交替出现共ω次）的语句φ，如果Vₖ⊨φ，那么φ在真正的集合论宇宙V中也成立，这样的基数κ就被称为∏＿ω正确基数。

0-反射基数

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