超宇宙计划（二） (4-2)

上的集合论真理的领域（这一点将在附录中进一步讨论）。我们现在转向最大化原则。关于最大

化的第一点是，在超宇宙中不可能有“结构最大化”，也就是说，一个优选的宇宙应该包含所有可能的序数或实数。因为不存在ZFC的最高可数传递模型，并且在任何这样的模型上可以添加新的实数以获得另一个这样的模型。那么，什么样的最大化原理可以应用于超宇宙的元素呢?（逻辑）Maximality:设u是一个变量，其范围涵盖超宇宙的元素。如果具有某些参数的所有集合论陈述在外部成立，即在包含v作为“子宇宙”的某个宇宙中成立，也在内部成立，即在c的某个“子宇宙”中成立，则v是（逻辑上的）最大的。根据人们所接受的参数和人们对“亚宇宙”概念的理解，最大宇宙的不同标准源于这一原则（并根据这一原则得到证明）。这里有两个例子。序数（或垂直）最大化标准:该标准针对序数的最大化、其中模型已经固定了幂集运算。如果r是w的一个（适当的）秩初始段，c是序数/最大值当它超宇宙计划89有一个加长，使得对于所有一阶公式p和属于w的c的子网a，如果(p(A)在中成立，那么(p(a(rq)在rp中对v中的某一对序数n《成立（其中ra表示c中秩小于a的集合的集合）。幂集（或水平）最大化标准:该标准呼吁相对于幂集的最大化、其中模型具有固定的阶。如果无参数语句在r的某个外部模型中成立（即在包含υ且序数与r相同的某个宇宙w中成立），那么它在o的某个内部模型中成立（即在包含r且序数与r相同的某个宇宙o中成立）。有序（或垂直）极大性在集合论中有很长的历史。它也被称为高阶排斥原理，并已被证明暗示（并证明）存在“小”大基数（即与K-L一致的大基数概念，如不可访问性、弱紧性、m-Erdos基数，…).相反，幂集最大化只是最近才被公式化。事实上，它相当于IMH，正式来说，通过传递到r的外部模型、内部一致性保持不变，即在r的某个内部模型中包含的无参数句子集没有增加。评估幂集最大值与事实上的集合论真理的兼容性不是一件小事。因为IMH驳斥了不可达基数以及投射决定性(PD)的存在（见【7】)。这些含义迫使人们重新审视大基数和确定性在集合论实践中的作用。因此，人们看到，幂集最大值可能与事实上的集合论真理兼容。因为，如果人们接受这样的说法，即大基数在集合论中的作用被正确地描述为它们在内部模型中的存在，而不是它们在K中的存在，是事实上的集合论真理，并且PD的重要性被其无参数版本所捕获，那么幂集极大性与集合论实践的兼容性就恢复了：1MH事实上与非常大基数的内部模型和无参数PD都一致（实际上是在没有实际参数的情况下具有OD-决定性）。”4

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