超宇宙计划（二） (4-1)

相反，在【23】中，集合通用多元宇宙被引入，以仔细检查集合通用多元宇宙的真理概念。根据后者，用集合论语言表述的句子如果在K生成的多元宇宙中绝对成立，即如果在属于该多元宇宙的每个宇宙中都成立，则该句子为真。如果有人采纳通用多元宇宙的真理观，他应该声明CH这样的句子缺乏真理价值。然而，这不是伍丁的结论。事实上，他认为集合通用的多元宇宙真理观是站不住脚的，因为它违反了他认为对集合论宇宙的任何真理概念都至关重要的原则（见【23】）。然而，请注意，尽管伍丁和哈姆金斯对多元宇宙有不同的数学理解，他们对独立于ZFC的句子的地位有不同的立场，但在某一点上，他们对多元宇宙的看法比一开始可能出现的更相似。在考虑是否可以通过援引多元宇宙为集合论句子引入一个合适的真理概念时，伍丁和哈姆金斯都心照不宣地从一个假设出发，即人们应该将多元宇宙视为无法超越的ZFC模型的最终多元性，也就是说，简化为某种更基本的东西。结果，他们都被引向集合论真理概念的候选人，这种概念是非常不完整的，允许集合论的意义既不是真的也不是假的。伍丁和哈姆金斯分享的这一假设值得强调，因为它被超宇宙计划明确拒绝（见下文的欲望2），我们现在将其作为利用多元宇宙概念的集合论真理的一种独特方法。超宇宙计划可以被理解为试图达到新的法律上的集合论真理从多元宇宙的图片开始超宇宙计划85它忠实地总结了当代集合论中可获得的大量结果。当使用这种方法时，人们专注于ZFC的有根据的模型，这相当于表达了一种双重信念:ZFC的公理是事实上的集合论真理，只有这种理论的有根据的模型才提供了集合论宇宙的可信图像。因此，超宇宙计划一开始就声称多元宇宙应该满足一个极大性和一个明确定义的标准，只有ZFC的所有可数传递模型的集合才能满足这个标准。更准确地说:渴望1。多元宇宙应该尽可能丰富，但它应该不是一个定义不清或没有限制的乘法。这样说有两个目的。首先，当代集合论中创建有根据的宇宙的方法远远超出了集合强制或类别强制（因此多元宇宙应该不仅仅包括集合或类别通用扩展和基础模型）。由于超宇宙，即ZFC所有可数传递模型的集合，在所有可能的宇宙创造方法下都是封闭的，人们被引导去认同多元宇宙。第二，迫切需要给多元宇宙一个精确的数学公式，这使人们能够将其用于丰富集合论真理领域的目标。这是在超宇宙计划中通过为超宇宙的某些成员制定合理的偏好来完成的，从而获得首选宇宙的选择。多元宇宙定义明确的要求是这一选择过程成为可能的必要条件，如果多元宇宙定义不明确或没有尽头，情况就不会如此。渴望2。超宇宙不是一个终极的多元宇宙。人们可以根据基于合理原则的标准表达对其中某些成员的偏好。超宇宙计划的另一个关键点是，在超宇宙的首选宇宙中成立的一阶属性在k中也成立。DfiSIDERATUM 3V的任何一阶性质都反映为可数ZFC的过渡模型，它是超宇宙的首选成员。欲望3的一个重要结果是，尽管超宇宙计划中制定的首选宇宙的标准可能不是一阶的（事实上，我们将在第3节中介绍的标准不是一阶的——它们在整个超宇宙中量化）、但在超宇审计划中，人们可以获得集合论的一阶公理，这些是首选宇宙共享的一阶真理。为了证明欲望3的合理性，人们可能会引用向下的洛温海姆-斯科勒姆定理，然而，该定理本身仅意味着K一阶反射的超宇宙中一定存在某些成员。这些可能被选为超宇宙的首选元素是一种假设86塔蒂亚娜·阿里戈尼和赛-戴维·弗里德曼这是在超宇宙计划中特别提出的，理由是它表达了一种扩大集合论真理领域的合理程序。在超宇宙计划中，没有必要证明这种策略是获得集合论新真理的“正确”策略。事实上，该程序没有柏拉图式的假设，没有承诺将K视为独立于数学实践而存在的明确现实，在扩展集合论知识时应该忠实于这一观点。因此，在超宇宙计划中，对于达成新的集合论真理的正确和错误策略之间没有先验的区别。相反，我们的目标是制定和证明寻找新的集合论陈述的程序，我们希望将其视为最终和确定的。所建议的程序的合理性是在siderata 2和3中得出的陈述应被视为真实的唯一理由，这相当于一个寻找新的集合论真理的策略提案（该提案的完整形式必须包括超宇宙优选元素的明确标准；我们在第3节中考虑这一点。如何论证这一策略的合理性?考虑一下超宇宙计划的目标。人们希望掌握当代集合论中所面临的各种不同的U的图像，这些图像被炒作的流行词忠实地表现出来。由于向下的Liiwenheim-skolem定理，超宇宙的成员是传达关于k的一阶信息的候选对象。面对令人眼花缭乱的不同选项是我们不仅在当代集合论中熟悉的情况。在这种情况下，我们自然会采取以下行为:我们分析各种可能性，从中选择那些在法定标准下看起来比其他人更好的可能性（因此可以根据先验理由享有特权），并做出有利于这些可能性的决定。这正是一个人在超宇宙计划中所做的。在寻找K的新真理的过程中，人们从超宇宙开始，它最忠实地反映了集合论宇宙的可能图景。由于人们不满足于超宇宙作为一个终极的、不可超越的背景，人们被引导到desiderata 2和3所描述的计划，该计划相当于挑选出超宇宙中拥有最佳元数学属性的成员（即那些符合首选宇宙标准的成员），以便为了丰富k中的真理领域而做出有利于他们的决定。因此，超宇宙计划的策略就其目标而言是完全合理的。让我们强调，本质上不能保证我们下面的列表将导致新的公理，既解决独立的问题，又与事实上的集合论真理兼容。也就是说，通过遵循它们，人们在一开始就不能确定是否能成功地将U中的真理范围扩展到集合论中已被公认为权威的句子之外。这是所使用的首选宇宙标准的无偏性的结果。然而、事实证明通过选择超宇宙计划87根据我们建议的标准，人们确实可以获得独立问题的解决方案，而不会与现有的集合论确定真理相冲突。这一事实的发生可能会被援引为一个相关的后验论证（一个来自成功的论证），以证明超宇宙计划所建议的策略的合理性。3.首选宇宙的标准。超宇宙计划中优先选择哪些宇宙?在第一节中、我们提出了一个观点，即通过订阅超宇审计划，人们应该遵守从对超宇宙的无偏见审视中产生的首选宇宙的原则和标准，以便获得合理的宇宙选择。因此，该计划排除了集合论或数学实践的特定领域产生的需求在制定首选宇宙标准中发挥作用的可能性。因此，大意为人们应该更喜欢那些解决集合论或数学特定领域出现的困难的原理所在的宇宙的声明不是此类标准的候选对象。让我们举一些这种非标准的例子。广义连续统假设(GCH)，它在解决集合论中的一系列问题方面非常有效：IU=L，这个理论产生了一个强大的无穷组合学，可以用来解决集合论中比GCH更多的问题：投影决定性(PD)、它产生了实数投影集的吸引人的理论；强制公理（如马、、BMM）与K=L一样具有很强的组合强度。我*这类标准反映了特定集合论者或数学家群体的兴趣。因此，集合论或数学领域有多少，就可能有多少不同的此类标准。此外，随着集合论兴趣的改变，这些标准也可能改变。因此，从一开始，不能根据它们来选择宇宙，这些宇宙可以假定为在整个集合论社区内被普遍承认为合法的。有没有更好的方法来选择首选宇宙?超宇审计划对这个问题给出了肯定的答案，即通过只关注炒作宇宙的最一般特征并基于它们制定原则，人们能够建议（并证明）首选宇宙的标准。这是基于一个显而易见的事实，即超宇宙由ZFC模型组成11例如，见【19】关于假设GCH为公理的优点。2可以添加一个Woodin基于f2逻辑在【22】中介绍的公理化建议和猜想。后者是一种可以被证明（假设存在一类适当的伍德丁基数）不受集合强制影响的逻辑。但是正如前面所讨论的，在提出新的公理和猜想时，人们无法证明专注于设定强制是合理的。88塔蒂亚娜·阿里戈尼和赛-戴维·弗里德曼相互关联（一些宇宙可能是，例如，强制扩展、基础模型或其他宇宙的等级初始段），人们可以合理地选择就此比较而言“更可取”的超宇宙元素。这些被明确地与那些与它们相关的宇宙联系在一起，满足诸如最大化或全知之类的原则。在考虑超宇宙的一个元素如何可能成功地达到最大之前，让我们提一下根据从对超宇宙的无偏见观察中得出的原则和标准选择宇宙的危险。这样做可能会导致采用一阶陈述，这与事实上的集合论真理相矛盾。让我们举一个例子。人们可能希望基于最小化原则来选择首选宇宙。因此，人们的标准是首选宇宙应该尽可能小。该标准可能导致选择ZFC的最小模型just one uni- verse，这将意味着ZFC集合模型不存在的陈述表达了k的一个属性。然而，这与集合论实践明显冲突，即ZFC集合模型的存在确实属于事实上的集合论真理的范围。这同样适用于由最小性原则启发的较弱标准，根据该原则，人们应该更喜欢满足可构造性公理K=L的宇宙。尽管可构造性公理确实允许存在ZFC（以及更多）的集合模型，但它不允许存在具有可测基数的ZFC内部模型。这也与集合论实践相冲突，即这种模型的存在属于事实

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