ABC猜想 (5-2)

給定這樣一個方程，我們可以查看除三個數字中任意一個的所有素數 - 例如，對於方程 5 + 16 = 21，我們的素數是 5、2、3 和 7。原方程式中的任何數字都大得多的數字。相較之下，對於質數為 5、3 和 2 的方程式 5 + 27 = 32，素數乘積為 30——比原方程式中的 32 小。這個乘積如此之小，是因為 27 和 32 只有很小的質因數（分別為 3 和 2），需要重複多次才能產生它們。

如果您開始嘗試其他abc三元組，您會發現第二種情況極為罕見。例如，在a和b介於 1 和 100 之間的 3,044 個不同的三元組中，只有 7 個三元組的素數乘積小於c。 abc猜想首次提出於 20 世紀 80 年代，它體現了這種三元組幾乎不會發生的直覺。

更具體地說，回到 5 + 27 = 32 的例子，32 比 30 大，但隻大了一點。它小於 30 2、或 30 1.5、甚至 30 1.02，約為 32.11。 abc猜想表示，如果您選擇任何大於 1 的指數，則只有有限多個abc三元組，其中c大於您選擇的指數的質因數的乘積。

「abc猜想是關於乘法和加法的一個非常基本的陳述，」 Minhyong Kim說牛津大學的。他說，在這種陳述中，“你感覺自己正在揭示某種你以前從未見過的關於數字系統的非常基本的結構。”

a + b = c方程式的簡單性意味著許多其他問題都受到該猜想的影響。例如，費馬大定理是關於x n + y n = z n形式的方程，而加泰隆尼亞猜想則表示 8 和 9 是唯一兩個連續的完美冪（因為 8 = 2 3和 9 = 3 2） ，是關於方程式x m + 1 = y n。abc猜想（以某些形式）將為這兩個定理提供新的證明，並解決許多相關的開放性問題。

多里安·戈德菲爾德（Dorian Goldfeld）認為，這個猜想“似乎總是位於已知與未知的邊界上” （開啟一個新分頁）哥倫比亞大學的教授 寫道（開啟一個新分頁）。

abc猜想的證明所產生的大量後果讓數論學家相信證明這個猜想可能非常困難。因此，當 2012 年望月新一提出證明的消息傳開時，許多數論學家熱情地投入他的工作——結果卻因不熟悉的語言和不尋常的表述而受阻。定義足足有好幾頁，後面是定理，定理的陳述同樣很長，但其證明本質上只是說，「這直接從定義中得出」。

卡萊加里寫道：「每次我聽到專家（私下）對望月新一的論文進行分析時，這份報告都令人不安地熟悉：一大片瑣碎的瑣事，隨之而來的是不合理結論的巨大懸崖。 （開啟一個新分頁）在他十二月的博客文章中。

舒爾茨是該報的早期讀者之一。他以快速而深入地吸收數學的能力而聞名，比許多數論學家走得更遠，在四篇主要論文發表後不久就完成了他所謂的「粗讀」。舒爾茨對冗長的定理及其簡短的證明感到困惑，他認為這些定理有效但缺乏實質內容。在中間的兩篇論文中，他 後來寫道（開啟一個新分頁），“似乎很少發生。”

然後 Scholze 在第三篇論文中提出了推論 3.12。數學家通常使用「推論」一詞來表示一個定理，該定理是先前更重要的定理的次要結果。但就望月推論 3.12 而言，數學家們一致認為它是abc證明的核心。卡萊加里 寫道，如果沒有它，“根本就沒有證據” （開啟一個新分頁）。 “這是關鍵的一步。”

我認為abc猜想仍然是開放的。任何人都有機會證明這一點。

彼得舒爾茨這個推論是中間兩篇論文中唯一證明長度超過幾行的定理──足有九頁紙。當舒茲通讀它們時，他已經完全無法理解其中的邏輯了。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。