数学 (5-3)

自本世纪初以来[9]，数学理论中创造的自由使得人们在集合上考虑了许多新的数学结构。除了各种类型的代数结构（如群、环、域、半群、模、代数、李代数等），还有许多测度和概率模型结构以及对各种各样的拓扑结构的精细化：均匀结构、度量空间、拓扑流形、具有各种微分结构的可微或分析流形，如黎曼流形及其上的联络、代数流形等。考虑同一集合上的不同结构可以构造新的数学对象，如李群、拓扑向量空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间、赋范代数，等等。这些结构的引入主要是为了满足纯数学发展的需要，而一旦它们被更多的人所了解，它们在其他领域的应用自然会越来越多，运用数学理论的人也会越来越多。

在引入所有这些不同类型的数学结构之后，人们深切地感受到了统一的必要性；经过一段快速扩张的时期，如果没有一种统一的理论将各个领域联系起来，那么一个无法阻挡的趋势便是，不同的数学家们将和巴别塔的建造者们一样，使用不同的、不相容的数学语言发展各自的领域。

考虑到这些理论的相似性，我们可以通过对结构这一概念，或者更确切地说，集合上某一特定种类的结构的一般性定义得到某种统一。这一思想是由布尔巴基学派[10]发展而来，也是他们编撰的系列教材《数学原本》（Éléments de mathématique）中内容顺序的编排基础。在数学研究的最开始就被广泛考虑的整数和欧几里得空间这两种结构，一旦被公理化地定义，就非常确定地对应着集合上某一种结构，即所有满足此类结构的对象都是同构的。但现代数学所引入的集合上的不同结构类别（例如群或拓扑结构）并不具有这种唯一性。

集合上一般结构的理论可以用范畴和函子的概念来进行更加普遍的公理化，而范畴论的发展似乎是当今数学最具特色的一种统一的趋势；基于此，我认为它很快就会像其他基础领域一样，如线性代数和拓扑学，在大学早期就被教授。[11]

一个范畴是由一族元素和在它们之上部分定义的复合操作所构成的[12]，同时复合需要满足一定的规则（公理）。例如，每一个群都是一个特殊的范畴，复合操作和群的乘法一致，这使得其中每个元素在这个复合操作下都是可逆的，且只有一个单位元；但最典型的例子还是所有集合间的函数所构成的范畴，其中的一个元素是两个集合之间的一个映射，复合操作则和通常函数之间的复合相一致。抽象范畴的公理化正是基于这个由集合之间的映射构成的范畴所提出的。我们把范畴中一个元素叫作一个态射，而不称其为函数，可以将其想象为从一个物体（态射的源）到另一个物体（态射的靶）的一个箭头。因此，范畴论中态射的一般概念是函数概念的推广，而函数被戴德金认为是数学的基本工具。

函子是范畴之间保持复合操作的映射。它们再次构成了一个范畴，即函子的范畴。对于我们通常所考虑的集合上附加的某种数学结构，它们之间的同态也构成一个范畴。对于所有的这些范畴都可以自然地定义一个函子，映射到之前所述的集合之间的函数所构成的范畴[13]；这通常被称为遗忘函子（forgetful functor），即在这个函子的作用下我们忘记了集合上其它的结构，仅仅保留了最基本集合的信息。例如，所有拓扑空间之间的连续映射构成的范畴，亦或是所有群同态所构成的范畴，都有如上所述的遗忘函子。

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