集合论新公理探究的哲学思考（二） (5-3)

另外，公理的内在证成最终将归入外在证成之中，原因在于“内在证成”仅当与外在收益关联时才体现价值。

不仅如此，数学深度随着公理系统的统一和扩展(借助于新公理)也会增加。

例如，有了投影决定性公理，我们就可以将ZFC中证明的最初两个层级投影集合的决定性扩展到整个投影分层。

不过麦蒂坦然承认，她还没有给出数学深度的满意解释。

基于这样的后形而上学立场，Thin实在论者对CH的态度比经典逻辑排中律意味的要多，但比柏拉图实在论者(把CH的合法性诉诸某种客观实在)意味的要少。

也就是说，如果目前经典逻辑只能说明CH或非CH，那么随着新公理的增加，也许能够在它的真或假中选择其一，条件是我们需要领会解决CH的某公理探究的数学深度，否则可能永远都不知道CH是否为真或假，尽管它具有确定的真值。

总而言之，在Thin实在论者看来，寻找新公理以及证成新公理的理由不是描述某个独立于我们的客观实在世界，而是探索数学深度的事实。

同时，新公理的外在证成比内在证成更重要，因为所有被认为合理的公理都“建立在承诺实现更多数学目标，发现更多丰富的概念和理论，以及产生更深刻的数学基础之上。

最终，我们旨在以组织和扩充数学思考的有效方式，以产生多产的新假设的有用试探法等等来寻求一致的理论”。⑩

(四)公理的认知证据序列

P.克勒纳(Peter Koellner)在他2011年的论文《大基数和决定性》中把内在证成的新公理与外在证成的新公理放入公理的证据序列中来说明公理的本质。

克勒纳首先阐述了数学公理系统的可解释性分层，他认为从简单的算术公理系统出发，到二阶算术层级，集合论的子系统，大基数公理的分层等等可以形成一个良基的可解释性分层。

然后，他说明公理的本质不在于主观的白明概念，而在于“……比……更显然”的概念。

利用这个概念，每个可解释性层级中的公理可以组成一个关于认知的证据序列。

由此，基于内在证成和外在证成的新公理都可以归入这样的证据序列中。

这里，克勒纳强调，处于证据序列极小点的公理不应当被视为自明的，因为在更高可解释性分层的证据序列中处于极小点的公理通常并不是显然的。

有关新公理的证成，他认为更为普遍的情况是，检验处于证据序列较低层级的公理之间的相互连接，希望一系列深刻的定理显示它们之间的结构关系。

当这些结构关系在更为丰富的数学领域中被揭示时，就可以为这些公理提供更多地证据支持。

最后，克勒纳讨论了二阶数论层级上决定性公理和大基数公理之间结构关系的具体例子以印证他提出的观点，并期望这同样适用于说明三阶数论层级上引进的新公理。

就当前新公理问题上存在的冲突，克勒纳认为暂时还无法解决。

但是他认为那些拒绝新公理的人应当说明公理界限的划定标准是什么；

而他作为新公理的支持者，认为可解释性分层中公理的复杂连接可以作为证据，支持寻找更高层级的新公理。

(五)直谓主义者的反抗

费弗曼在2011年的论文《连续统假设是确定的数学问题吗?》中再次解释了他为什么相信连续统假设不是一个真正问题的理由，其基本观点与1999年时的看法大致相同，即任意集合的概念是内在含糊的。

不过，在2011年的论文中，费弗曼从三个方向更细致地考察了这个问题。

第一个方向是与千禧年大奖问题相关的思想实验，背景是2000年克雷数学研究所的科学顾问委员会，宣布了七个未解决的数学问题，而连续统假设不在其中。

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