集合论新公理探究的哲学思考（二） (5-4)

通过模拟科学顾问委员会和集合论专家之间的对话，费弗曼表明，如果CH被加到七个问题之中，那么困难将是数学真理不再普遍有效，因为它们基于更高的不寻常假定。

第二个方向涉及概念结构主义的数学本质。

他用十个命题总结他的概念结构主义，强调所有数学思想的主体间性的来源。

他认为，数学对象是作为心智概念存在的结构，它的客观性在于主体间交流时的稳定性和连贯性。

但CH不具备这样的客观性，它的客观性来自柏拉图主义的集合世界。

第三个方向涉及区分确定和不确定概念的逻辑框架。

确定的概念意指如果陈述A是确定的，那么它或真或假。

费弗曼认为在半构造集合论系统加上断定ω的幂集存在的逻辑框架中连续统假设是不确定的。

五、结语

根据以上综述可以看出，无论是新公理的反对者还是支持者，无不希望寻求公理背后的客观实在性以阐明数学的客观性。

尽管存在如下分歧：公理是否应该遵从自明的标准、应该支持多高层级的无穷集合才合适、悬置本体论直接强调认识论、哲学立场在新公理辩护中到底该不该起作用等等，但学者们都期望通过对“数学家的实践”、“主体间性”、“心理学上的事实”、“关于认知的证据序列”等一系列主观性的辨析来实现这一诉求，这意味着学者们普遍赞同客观与主观并不是完全脱离的，公理的客观有效性应该在考察数学家心智活动的前提下被研究。

在这一背景下，笔者认为新公理哲学研究的未来趋势将依然是，具体的公理和证成的理由可以被分析、支持或批评，但是这些公理的选择以及关于它们的证据必须包含意识的意向结构，从而使得所有已形成的理论变得可以理解。

注释：

①转引自S.Feferman,“Does Mathematics Need New Axioms?” in The American Mathematical Monthly,106(2),1999,pp.401-412,p.103.

②K.,“What Is Cantor's Continuum Problem?” revised and expanded version of ,1947,in Benacerraf and Putnam (eds.),Philosophy of Mathematics:Selected Readings(2rd),1964,Cambridge University Press,Cambridge,1983,pp.470-485,p.477.

③同上书，第484页。

④S.Feferman,H.iedman,P.Maddy,and J.R.Steel,“Does Mathematics Need New Axioms?” in The Bulletin of Symbolic Logic,6 (4),2000,pp.401-446,p.417.

⑤S.Feferman,H.iedman,P.Maddy,and J.R.Steel,“Does Mathematics Need New Axioms?” p.411.

⑥同注⑤，第415页。

⑦W.H.Woodin,“Set Theory after Russell:The Journey back to Eden”,in G.Link (ed.),One Hundred Years of Russell’s Paradox:Mathematics,Logic,Philosophy,Walter de Gruyter,Berlin and New York Inc,2004,pp.29-47,p.32.

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