数学与逻辑学 (2-1)

数学危机

20世纪以来，数学的抽象化促使了数学与哲学的再次结合，这是自古希腊时代和17世纪笛卡尔的时代之后的第三次结合，巧合的是三次的数学危机在时间上也几乎一致。古希腊时期的毕达哥拉斯学派发现了无理数，从而引发了首次数学危机。微积分的诞生，作为微积分基础概念的无穷小量，像幽灵一样困惑着人们，直到柯西发展了极限理论，这一问题才得到解决。随着分析的严格化以及集合论的诞生，数学家们本以为能永远的摆脱来自数学基础层面的数学危机。

1900年，法国庞加莱在巴黎的数学家大会上宣称：“现在我们可以说，完全的严格化已经实现了！”然而打脸的是，第二年英国的数学家、哲学家罗素给出了集合论的一个悖论——罗素悖论，矛头直指数学基础，引发第三次数学危机。罗素悖论的通俗形式“理发师悖论”：某乡村理发师宣布了一条规则：他决定给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给村里这样的人刮脸。试问：理发师是否给自己刮脸呢？

极限理论使得分析严格化，也化解了数学的第二次危机，但是极限理论是以实数为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，现在集合论遭遇了罗素悖论，为消除悖论，数学家们开始着手对集合论公理化的工作。首先是德国数学家策梅罗(E.Zermelo)提出7条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论；然后经过德国数学家弗兰克尔(A.aenkel)的改进，成为了名为“ZF公理系统”的无矛盾集合论公理系统。至此，第三次数学危机得到缓解。那么ZF公理系统本身会不会出现矛盾问题呢？美国数学家科恩证明，在ZF公理系统下康托尔连续统假设的真伪无法判别，科恩因此获得了1966年的菲尔兹奖。

于是，为继续进一步的解决集合论的悖论，数学家开始从逻辑上去寻找答案。由于数学家的观点分歧，形成了数学基础的三大学派：以罗素为代表的逻辑主义学派，以布劳威尔为代表的直觉主义学派，以希尔伯特为代表的形式主义学派。三大学派的形成和活跃，对由莱布尼茨开启的数理逻辑学的形成和发展起到了推动作用。下面一段文字是三个学派的简述，可以选择阅读。

逻辑主义学派认为，数学就是逻辑，全部数学都可以由逻辑推导得出，而不需要数学所特有的任何公理。数学概念可以通过逻辑概念来定义，数学定理可以由逻辑公理按逻辑规则推导得出。与逻辑主义学派相反，直觉主义的基本思想是：数学独立于逻辑。坚持数学对象的“构造性”定义，是直觉主义的精粹，要证明对象的存在，必须同时证明它可以用有限的步骤构造出来。在集合论中，直觉主义只承认可构造的有穷集合，这导致了“排中律”被否定。希尔伯特在批判直觉主义否定排中律的同时，主张：数学思维的基本对象是数学符号本身，而非它们所表示的意义。形式主义在吸收直觉主义的某些观点的同时，保留了排中律，引进了“超限公理”，证明了施以若干限制的自然数理论的相容性。

哥德尔不完备性定理

在逻辑主义学派、直觉主义学派和形式主义学派活跃时候，横跨数学和哲学两个领域的哥德尔提出了震惊世界的哥德尔第一和第二不完备性定理：哥德尔第一完备性定理：对于包含自然数系的形式体系F，如果是相容的，则F中一定存在一个不可判定命题S，使得S与S之否定在F中皆不可证。

哥德尔第二完备性定理：对于包含自然数系的形式系统F，如果是相容的，则F的相容性不能在F中被证明。

哥德尔第一完备性定理的意思是说，自然数系的任何公设集如果是相容的，就是不完备的。由此可得知：任何形式系统都不能完全刻画数学理论，总有些问题从形式系统的公理出发不能解答。几年后，美国数学家丘奇证明了，对于包含自然数系的任何相容的形式体系，不存在有效的方法，判定该体系的哪些命题在其中是可证的。哥德尔第二完备性定理的意思是说，经典数学的内部相容性不可证。

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