数学 (5-1)

撰文| 夏尔·埃雷斯曼（Charles Ehresmann）翻译| 叶凌远

本文是夏尔·埃雷斯曼（Charles Ehresmann，1905-1979）于1966年4月25日在堪萨斯大学劳伦斯分校数学系荣誉晚宴上的演讲，同年发表于Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques (《范畴拓扑学与范畴微分几何》) 杂志，题目为“Trends toward unity in mathematics”。埃雷斯曼是一位在德国出生的法国数学家，他是布尔巴基学派的早期成员之一，在微分拓扑和范畴论等领域作出了重要工作。

夏尔·埃雷斯曼

这篇文章简明地回顾了从古典时代到现代数学的发展历程，阐述了他对于采用范畴论的语言统一不同数学分支的设想。那时距范畴最初的概念在数学文献中正式出现不过21年的时间。到如今，将近60年的时间过去了，范畴论无论是在其自身还是在统一数学方面都有了长足的发展，因此埃雷斯曼文章所规划的蓝图与提出的问题不见得仍在现在的语境下适用。但范畴论发展所取得的成果却没有在更广泛的数学家群体中得到它应有的重视。翻译这篇几乎是60年前的文章，是希望和读者一起回到半个世纪之前，重新思考数学的本质、体会现代数学的思维方式。翻译整体遵照原文，对个别细节进行了修改，注释与粗体均为译者所加。

在常人眼中，数学结论经常被认为是永恒的真理，但数学不是由一成不变的定理所构成的；它也不仅仅产生了大量习题，在其他科学中有广泛的应用而已。数学是一门生动的科学，在持续不断地向前快速发展。我们所处的年代正是数学极速扩张的时代；并且现在，也有一股重要的力量推动着数学迈向统一。

同样的发展导致了新文学的出现——小说不必再有情节；诞生了抽象音乐，有时是由计算机谱写；还有抽象的雕塑和绘画，它们并不旨在呈现真实事物的一般表象。这种同样的抽象过程也发展出了一种新的数学，其动机不在于寻找可能的应用，而是基于我们一种强烈的愿望——希望知晓每一个问题的本质和它所依赖的整体结构。这种一致并不令人惊讶，毕竟数学与艺术非常相似：数学理论不仅需要严格性，还要满足我们对简洁、和谐和美的追求；一个优美的理论和一件艺术品一样，它们都是人类灵感的创造。

对于那些数学家中的柏拉图主义者，他们工作的动机是要寻找给定情景下真实的结构，以及这些结构的抽象表示。对更务实的数学家来说，他努力的目标是用他所掌握的一切手段去解决纯数学或应用数学中出现的预先给定的问题；在此过程中，他会尽可能避免引入新的一般概念。而所有数学家都会认同的是，如果一项数学工作能够激发新的研究产生，那么它在数学中的价值就能得到最好的证明；数学最重要的应用恰恰应是数学本身。

直到最近，大多数哲学家，甚至柏格森[1]，都把数学说成是一门与日常空间中的数与量有关的科学。这个描述或多或少对应着古希腊的数学，但现代数学已不再是如此了。

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