大基数（问题）

Woodin通过终极猜想等途径，论证这条通往秩序的路才是对的正确理解，但是选择公理之上的大基数打破了这一点。

集合论学家是怎么关注到选择公理之上大基数的？

选择公理之上的大基数为何指向HOD二歧性的第二条路？

哲学家又为何关注这些通往混乱的大基数呢？

初等嵌入与大基数

这个故事需要从大基数的初等嵌入表示说起。

集合论有一条被称为反映原理的定理：

定理1.1（反映定理）给定任意公式ф₁，. . .，фₙ ZF ⊢ ∀α∃β＞α(ф₁，. . .，фₙ对Vᵦ绝对)

这条定理有两方面的含义：一是说明想要理解集合宇宙V是十分困难的，因为使用“有限多句话”来刻画集合宇宙时，每当我们认为抓住了V的本质，实际上我们都只抓住了它的一个片段Vβ而已；

二是说明，就有穷多条公式刻画出的特性而言，集合宇宙V与它的片段具有某种程度的“相似性”，即都承认自己有这些特性，或者都否认自己具有这些特性。

这种模型与模型之间的“相似性”，在另一个概念：初等嵌入上也有体现。

模型M1和M2之间存在一个初等嵌入j的意思就是说，M1中任选n个元素a1……an，关于它们的那些事实都可以原封不动地通过映射j搬到M2中的j(a1)……j(an)上。

两个模型之间存在一个初等嵌入，则这两个模型从一阶公式的角度难以区分，故而二者至少是十分相似的。

我们用符号＜表示两个模型之间的这种关系。

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