集合论新公理探究的哲学思考（一） (7-5)

他主张，迫使我们接受公理为真的更可能是作为整体的公理系统，而且这个过程是渐进的。

因此，尽管我们对新公理的信心不可能达到对皮亚诺公理的信心，但引进的新公理可以合理地得到辩护。

麦蒂则分析了费弗曼青睐自明性公理，对外在辩护的新公理无动于衷的原因。

她认为，主要原因是，费弗曼要求被辩护的公理不仅表明理论是有效的，还必须符合某种数学概念。

这种数学概念是“某理想世界中的概念……或多或少直接表达想象的事物”④，因此，在麦蒂看来，费弗曼为公理的辩护实际上最终不是基于自明性，而是某种客观实在。

麦蒂自己则更愿意支持外在辩护的新公理，因为它们有助于当代集合论满足各种目标。

但她不认为集合论应当揭示数学实体是什么，或在是否需要新公理的问题上提供认识论基础，也不认为集合论显示如何通过显然的步骤，从绝对的某些真理推导出各种数学真理。

(二)连续统假设是否是一个真正的问题

费弗曼声称连续统假设本质上是模糊的，没有新公理以令人信服的明确方式解决它。

原因在于，连续统(或自然数的幂集)是经由自然数的“任意子集”汇集成一个总体得到的概念；解决连续统问题还需要三阶数论上的语句，即需要涉及连续统(实数)的任意子集以及它们之间的可能映射。

但“自然数的任意子集”的概念和“实数的任意子集”的概念都是含糊的，因为我们缺少对这些概念的集合直观，“没法用合理的方式表明在不违反这个概念应该是什么的情况下形成这个概念”。⑤

因此谈论CH的真假没有意义。

另外，CH没有成为千禧年奖金列出的杰出数学问题之一，所以不是一个值得探讨的问题。

但是，斯蒂尔认为三阶数论仅仅是语言上的含糊性，这并不代表它本质上就是含糊的。事实上，可以通过提高语言的意义来发现新的真理。

最终，解决连续统问题可能就是解决语言上的含糊性。

并且一旦澄清了CH在语言中的含糊性，CH在思想中的真就能显现出来。

另外，连续统假设没有成为七个杰出问题之一，仅仅说明人们对数学基础问题不感兴趣。

真正的关键是，连续统假设涉及“与数学证据有关的基本概念问题”，值得逻辑学家去关注。

麦蒂则摆脱了这样的问题。

原因在于她的自然主义哲学不需要关心CH是否是本质上含糊的，而且她不认为CH的答案是预先确定的。

麦蒂的自然主义哲学只需要评估寻找新公理的前景，它符合集合论的目标，也可以解决CH。

(三)新公理的辩护依赖于柏拉图主义的立场是否恰当

费弗曼对于用柏拉图主义为当代集合论寻找新公理提供基本辩护表现出极端的不满。

根据他的理解，柏拉图主义为当代集合论实践作辩护主要体现在：CH具有确定的真值诉诸某个柏拉图的集合世界；

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