集合论新公理探究的哲学思考（一） (7-4)

她的论述显示，现代集合论研究中断定可测基数、武丁基数和超紧致基数等存在的更大的大基数公理以及涉及可定义实数的决定性公理都具有各自丰富的推论，因此得到了外在的辩护。

这些技术工作主要归功于索罗维、马丁、M.福尔曼(Matthew Foreman)、M.穆加多尔(Menachem Magidor)、S.谢拉(Saharon Shelah)、W.H.武丁(William Hugh Woodin)等人。

值得谈及的是，60年代后期，索罗维猜想大基数公理蕴涵可定义实数的决定性公理；

80年代中期，武丁作为索罗维的学生，最终证明了可定义实数的决定性公理等价于大基数公理的内模型。

这个结果产生的影响是，使得两类在概念上处于完全不同领域的公理被统一起来：

决定性公理继承了大基数公理的内在和外在证据，大基数公理转而获得支持决定性公理的外在理由。

但与人们期望的相反，这些大基数公理依然无法解决连续统假设问题，尽管它们与V=L不相容。

麦蒂撰写这两篇综述性的论文，旨在给数学知识论者和数学哲学家提出哲学任务。

她本人认为集合论在可应用性上的成功以及那些外在证据可以巩固公理的辩护实践。

但她不倾向在某特定的哲学立场上给出新公理的辩护和反驳，而是认为对任何哲学立场的人来说，连续统假设都是一个真问题。

因此，在她看来，寻找新公理解决连续统问题不只是柏拉图主义的事业，而且是对任何哲学立场都重要的事业，关键在于深入考察这些哲学立场之间的细小差异。

三、新公理纲领分歧的当代视野

20世纪90年代后，与麦蒂观点的初衷事与愿违的是，一些人对连续统具有确定的真值提出了质疑，他们认为独立性的结果破坏了集合论作为客观的事业；

而包括麦蒂在内的另一些人则坚持独立性的结果仅仅表明，缺少用于证明这些数学陈述的集合论公理。

这种分歧往往伴随着形而上学立场的分歧，如1999年S.费弗曼(Solomon Feferman)发表于《美国数学月刊》上的论文《数学需要新公理吗?》以及2000年《符号逻辑简报》(The Bulletin of Symbolic Logic)上收录的费弗曼、麦蒂、J.R.斯蒂尔(John Robert Steel)等人在2000年符号逻辑年会上的会议论文均体现出这种分歧。

争论的焦点主要表现为如下几个方面：

(一)公理意指什么

费弗曼在两篇文章的开头均引用了《牛津英语字典》的定义，说明他的“公理”含义即自明性。

然后，他把公理的自明性归因于数学概念的清晰直观。

依照这个标准，他认为皮亚诺算术公理符合这个自明性的标准，因为自然数概念是清晰直观的。

但斯蒂尔认为公理的自明性标准太主观了，不仅导致无法解决“何谓自明的”争论，而且产生的公理系统相当有限。

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