集合论新公理探究的哲学思考（一） (7-6)

集合的累积分层使用了“给定集合的任意子集”的柏拉图主义概念。

但是，在费弗曼看来，明显的事实是，不仅CH是含糊的，而且整个累积分层的概念都是内在含糊的。

因此不仅谈论三阶数论上CH的真假没有意义，而且谈论二阶数论上陈述的真或假的事实也没有意义。

这种观点，不仅使得费弗曼只在工具主义的立场承认ZFC从累积分层中产生，而且否认寻找新公理解决这些概念上含糊的独立性陈述。

但麦蒂指出，费弗曼错误地相信只有柏拉图主义能够为集合论的实践提供辩护，从而误以为寻找集合论新公理的实践是不正当的。

她声称，哲学不应该证成或批评集合论实践，它们只是“尝试理解该实践”⑥。

(四)普通数学是否需要新公理

费弗曼认为，没有证据表明需要新公理解决开放的算术和有穷组合问题。

一方面，普通数学不需要新公理。

就纯数学来说，几乎所有经典数学的陈述都可以在ZFC中形式化。

就应用数学来说，它们都可以在可还原到PA的系统中形式化或者在相对较弱的非直谓分析子系统中实现。

因此，他声称，由哥德尔第一不完全性定理导致的独立性命题，应该仅仅是普通数学推理的结果。

另一方面，他认为，说需要新公理[即大基数公理(简称LCA)]解决不可判定的命题，其实是在回避问题。

因为我们寻找的不是新公理，而是它与ZFC的一致性。但在接受ZFC+LCA和接受Con(ZFC+LCA)(“Con”表示“一致或相容”)之间存在差别。

在不承认大基数公理具有确定真值的情况下，如果有理由接受Con(ZFC+LCA)但不接受ZFC+LCA，那么我们不应当视LCA为公理。

在承认大基数公理有真值的情况下，可以忽略Con(ZFC+LCA)和ZFC+LCA之间的差别，但是还需要说明为什么承认LCA而不是它的否定为真。

这两种情况都说明，我们不应该如同接受皮亚诺算术公理一样接受它们。

麦蒂针对费弗曼提出的第一个理由给出了反驳。

她认为ZFC甚至更弱的系统对于当代科学可能够用，但或许实践科学并非根据这些较弱系统就能得到，而且纯数学的本质就在于自由。

因此本着探索的精神，使用非直谓方法和更高的无穷公理是必要的，从而期望获得更多数学上有趣的结构。

斯蒂尔针对费弗曼的第二个理由提出质疑。

他认为，费弗曼仅仅说寻找新公理对多数数学家来说不重要，但没有说明ZFC+LCA和Con(ZFC+LCA)之间不同的实际行为内容可能是什么，也没有回答解决第二类独立性命题的大基数公理是否应当算作好的证据，或者是否应该寻找其他方向的解决方案。

从上述的争辩可以看出，费弗曼、麦蒂和斯蒂尔的分歧最终落在经由外在辩护的新公理是否合法的问题上。

这种分歧的根源在于，费弗曼基于自然数的实在论立场支持一阶数论公理，否认寻找二阶以上的数论公理；

麦蒂认为寻找新公理不涉及哲学立场的考虑，只需要根植于集合论的实践目标。

斯蒂尔和麦蒂的观点大体一致，只是他在阐述怎样算是连续统问题的解决时，还强调哲学在新公理纲领中可以扮演更积极的角色。

四、新公理讨论的最新进展

2000年后，赞同寻找新公理的诸多学者希望为新公理纲领提供更好的辩护，而费弗曼等则依然坚持己见，认为连续统假设是含糊的问题。

(一)柏拉图主义立场的辩护

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