集合论新公理探究的哲学思考（一） (7-3)

这种困惑显然与预设客观存在的集宇宙有关，但我们也应该注意到，尽管哥德尔提到了“可设想的集合论对象”，但事实上他更侧重于在数学直觉的认识论上，而不是像人们通常认为的基于柏拉图主义的实在论立场，支持寻找新公理。

二、新公理纲领的实在论辩护

20世纪60年代至80年代期间，一方面，人们寻找新公理解决CH等独立性命题；另一方面，人们尝试为这些备选的新公理提供各种辩护。

这段时间探讨新公理的特点是：人们普遍认为连续统假设是一个真问题，而且从集合的实在论观点猜测CH具有确定的真值。

因此寻找的新公理除了提供各种辩护之外，还基于一种实在论。

1988年，P.麦蒂(Penelope Maddy)在《符号逻辑杂志》上发表了两篇综述性论文《相信公理Ⅰ》和《相信公理Ⅱ》。

这两篇文章的主要贡献是概括和总结了支持集合论公理，尤其是那些候选新公理的各种证据。

在《相信公理I》中阐述ZFC公理的合理依据时，麦蒂引用了G.H.摩尔(Gregory H.Moore)、M.哈雷特(Michael Hallett)以及A.A.弗兰克尔(Abraham aenkel)和A.利维(Azriel Levy)、王浩、F.R.德瑞克(Frank R.Drake)等人的著作和论文。

相比于为ZFC公理提供辩护来说，她更强调，它们与未经证实的新公理相比不具有优先的认识论或形而上学地位。

麦蒂还考察了人们对CH的态度。

她除了参考上述学者的著述外，还引述了数学家、逻辑学家和集合论专家如科恩、哥德尔、D.司克脱(Dana Scott)、D.A.马丁(Donald A.Martin)、R.M.索罗维(Robert M.Solovay)、C.弗赖林(Chris Freiling)等人的论文。

从她的综述看到，尽管独立性命题使得一些人，如科恩一开始采取形式主义的态度，但最终人们对CH具有确定的真值取得一致的意见，即集宇宙的存在支持CH是个真问题，所以引进新公理是必要的。

另外，尽管CH的真值尚未判定，但多数人基于各种理由，倾向于猜测它为假。

随着寻找新公理解决连续统问题工作的展开，最普遍被接受的新公理的内在理由是反射原则(reflection principle)。

它的基本思想是，集宇宙如此复杂以致不可能被完全描述，因此关于整个集宇宙的任何真，必定已经在该宇宙的某初始段为真。

这样，哥德尔用迭代概念辩护的不可达基数和马罗基数、甚至比它们更强的弱紧致基数、不可描述基数等都可以在反射原则下得到辩护，而且ZFC公理也可以重塑为反射原则。

最终的结果显示，这些无穷公理都不能判定连续统问题的假，因为它们与证明连续统假设与ZFC公理相容的可构造公理V=L也相容。

至于新公理的外在证成方面，人们一般都接受哥德尔声称的推论上的富有成果性。

麦蒂在《相信公理Ⅱ》中详细阐述那些不能用内在理由辩护的大基数公理的推论，尤其是二阶数论上的推论。

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