集合论新公理探究的哲学思考（一） (7-2)

明确提出新公理纲领则是在其1947年发表的经典文章《什么是康托尔的连续统问题》中。

1963年哥德尔根据集合论的后续发展又做了第二版补遗，最终形成1964年的修订版。

事实上，在1947年的版本中哥德尔就预感到连续统假设独立于ZFC，因此希望通过引进新公理解决它，并为引进它们提供了相应的辩护。

首先，他基于集合的迭代概念给出了新公理的内在辩护。这个理由说明新公理展现了由迭代概念[通过运算“……的集合”的迭代运用使得大全集分层成为从φ出发的阶为Vₐ（α为序数）的累积分层，即V₀＝0，Vₐ₊₁＝Vₐ∪℘(Vₐ)，且Vλ＝{Vₐ：a＜λ}的并，λ为极限序数]解释的集合概念的内容，表达的思想就是，即使耗尽了幂集和替换运算，集合的迭代仍然继续下去。

他举例说明，断定不可达基数和马罗基数存在的公理就是基于这样的内在理由，它们是原有公理系统自然的延续。

但是，当哥德尔看到上述的无穷公理不能判定连续统问题时，他期望因外在理由引进新公理：“在它们可证实的推论中如此丰富……以致不考虑它们的内在必然性，它们仍将不得不在任何完整的物理理论相同的意义上被假定。”②

这种外在理由强调的是“推论上的多成果性”。

关于证成新公理的外在理由，哥德尔还指出，当前不适宜于给专门的集合论公理做辩护，因为我们关于它们在其他领域中的推论知之甚少。

但是，人们并非都同意哥德尔这样的提议。

如1952年埃雷拉(Errera)认为连续统问题无法由现有公理系统判定就表明它没有意义(见哥德尔1963年的第二版补遗)，这直指哥德尔寻找新公理的计划。

对此，哥德尔从两个方面说明寻找新公理的必要性，从数学观点看，新公理被断定或否定存在显著的非对称性，断定它可以得到“富有成果的”扩充，否定它在有限范围之外将没有成果。

从认识论观点看，不可判定性命题只因原有公理系统中原始词项的含义处于不确定时才会失去意义。

但我们有一个可设想的集合论对象(在他看来，这个客观实在是经由“……的集合”的迭代方式设想的集合累积分层V)，而且我们对它们具有一种“像感知的”数学直觉，这使得现有公理迫使我们认为它们为真，而且也意味着不可判定的命题将来可以被判定。

不仅如此，哥德尔还指出，我们的数学直觉感知到的只是“集合论对象的观念”，但这个观念的客观性对判定连续统的真假不具有决定性。

真正重要的是，“存在一种心理学上足够清楚的，可以产生集合论公理和它们扩充的一个开系列的直觉事实，就足以使康托尔连续统假设那样的命题的真假问题具有意义。”③

哥德尔上述的辩护无疑为寻找新公理提供了有力的支持，但由于他设想了一个柏拉图主义的集宇宙，这激起了关于集合论哲学基础的讨论和争辩。

真的有那样一个抽象的集合世界吗?

如果有，生活在物理世界中的我们如何能认识那样的世界?

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