哈姆金斯的集合论多宇宙观及其辩护策略（一） (7-4)

其中，基于不同原初概念的“概念树”之间的任意两个概念完全不同，而基于同一原初概念的“概念树”上的概念之间则存在扩张关系。

二、哈姆金斯集合论多宇宙观的三大辩护策略

尽管哈姆金斯未明确提出相关的辩护策略，但其论述已蕴含之。

我们大致可以将其总结为三大辩护策略：类比论证、力迫的自然主义解释和实用价值辩护。

1. 类比论证策略

“类比论证是类比推理的明确表达，它援引两个系统之间公认的相似性来支持存在一些其他相似性的结论。”

由此定义可知，类比论证成立的前提是两个对象之间的“相似特征”，其结论不具有逻辑必然性。

具体而言，哈姆金斯在辩护中主要涉及集合论与几何学、集合论与算术之间的类比。

首先，将集合论与几何学进行类比。

这种类比从两个方面展开，一个方面是将集合论中的连续统假设类比几何学中的平行公理；另一个方面是将集合论模型的研究方法类比非欧几何的研究方法。

哈姆金斯对研究方法的类比做了详细的阐释，他认为几何学家存在以下研究替代几何的方式：

第一，通过欧几里得空间内的模拟来研究替代几何；

第二，可以在某种意义上跳进替代几何；

第三，可以通过使用定义特定几何的等距群（group of isometries）来对替代几何进行抽象推理。

相应地，集合论学家在研究力迫扩张时也存在相同的三种模式。

第一，通过名字和力迫关系，基于地基模型产生力迫扩张；

第二，亦可通过某种方式跳进替代宇宙；

第三，可以考查布尔代数及其自同构群（automorphism group）、同质性质（homogenetity properties）对力迫扩张进行抽象推理。

该类比试图表明，集合论与几何学存在诸多相似之处，既然非欧几何被广泛接受，那么多宇宙也应该被接受。

其中争议最大的是连续统假设与平行公理之间的类比。

巴顿指出，平行公理和连续统假设存在不同的范畴论证行为。

平行公理独立于二阶公理化，其在不同的模型中存在不同的真值；而诸如连续统假设之类的命题在具有完全语义的ZFC2的所有模型中真值相同。

文图里则指出两者存在实质性的范围差异，平行公理是一个整体原则（global principle），而连续统假设是局部原则（local principle）。

科尔纳（Peter Koellner）等学者似乎持更激进的观点，强调集合论与几何学之间的类比问题绝非仅限于个别命题或公理假设，绝对否定了两个学科领域之间类比的可能性。

他指出：“今天我们区分物理几何和形式几何，集合论与物理几何非常不同。它是否像形式几何的问题，......结论是我们还没有理由认为它是。”

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