形式主义与多宇宙观（一） (6-3)

图为格奥尔格·康托尔德国数学家，集合论的创始人

我们知道，希尔伯特纲领因为哥德尔不完全性定理而注定无法在其原本意义上实现，但是希尔伯特形式主义乃至后哥德尔定理的希尔伯特形式主义变种在本体论上对数学进行区分的做法是一以贯之的。

希尔伯特式的形式主义可以悬置那部分需要通过形式化方案来捍卫的数学的本体论问题，但要求对这部分数学的形式化给出一致性证明。

这一立场意味着他们必须认为其所期望的一致性证明是可靠的，或在某种意义上是真的。

无论这种一致性证明是基于有穷数学或其他构造主义数学的证明，他们必须或假设或尝试论证这部分数学是有意义的，它们对应着某种可靠的信念或具体的客观概念。

例如，竹内外史在《证明论》中为ε0下归纳原理所作的辩护①。

他定义了序数的可及性（accessible）概念来描述人们可以“切实地看到”或“构造性地证明”可及序数下的每个严格下降链都是有穷的。

他试图论证，可及性在序数加法、乘法甚至幂运算下保持不变，从而证明 ε0下的序数都是可及的。

竹内外史宣称基于可及序数下的归纳原理相比完全的集合论是有穷主义的，相比直觉主义中抽象的“构造”“证明”概念又更加具体。

因而，这是所谓“希尔伯特—根岑有穷主义立场”可以接受的数学命题。

再如，哥德尔对他的T系统的辩护。

在《论一种迄今未用过的有穷主义观点的扩张》中，哥德尔描述了一个扩张了有穷主义限制的系统T，并证明了直觉主义算术相对于该系统的一致性[4]。

哥德尔试图让读者相信，T系统基于的“自然数上的有限类型的可计算函数”概念是一个相比 ε0更具体的、“意义清晰的”概念。

读者可以在《哥德尔在构造主义数学方面的工作》中找到简要的介绍[5]。

在希尔伯特形式主义及其变种中，数学被划分为可靠的部分与“理想”的部分。

这种立场的支持者有义务澄清划分的具体位置，并为这种划分辩护。

对划分的辩护可能暗含在对可靠部分可靠性的辩护中。

这种“区别对待”本身揭示了形式主义者对关于“理想”数学的本体论地位的看法，它显然不是中立的。

前希尔伯特的形式主义者或许可以声称他们对所有数学一视同仁。

一些前希尔伯特的（往往是非自觉的）形式主义立场的确没有对数学做类似的划分，它们断言所有数学都是无意义的。

例如游戏形式主义，认为数学工作者只是根据给定的游戏规则进行操作。

但即使极端的游戏形式主义者也不得不承认，关于他们所玩的游戏规则是否和谐的问题是有意义的。

人们显然不会认为，一个已知走某步就定胜负（如证明出矛盾从而可以证明所有命题）的游戏是值得玩的。

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