形式主义与多宇宙观（一） (6-4)

而在希尔伯特之后，人们逐渐厘清了那些数学游戏的规则，形成了明确定义的数学公理系统，并借助于哥德尔编码等技巧，将关于游戏规则的问题明确地翻译成了对应的算术问题。

正如人们很难拒绝承认图灵机可计算是对能行可计算概念的正确刻画。

一旦这样的工具出现在眼前，人们就很难再拒绝承认这些翻译的正确性，这些关于游戏规则的问题就是数学问题，而且这些数学问题是有意义的。

因此，希尔伯特式的形式主义对数学基于本体论地位的划分对一般的形式主义而言也是难以避免的。

或许，形式主义者可以声称所谓的本体论中立仅仅是指“理想元”部分的本体论中立。

例如，作为哥德尔定理之后的形式主义者，科里不要求对公理系统的一致性证明。

因此，也不需要承认一个用以证明一致性的具有更高本体论地位的“元数学”，尽管他仍然认为一致性是形式系统重要的属性。

希尔伯特所强调的正是一致性标准。这样做的原因大概是他……在寻找一个先天的合法性证明。

但是，且不论对物理来说，一个先天的合法性证明的问题是不相关的，我坚持认为一个一致性证明既不是可接受性的必要条件也不是充分条件。

它显然不是充分的。

至于必要性，只要没有不一致性被认识到，一个一致性证明尽管带给我们关于系统的知识，但并不改变它的有用性。

即使不一致性被发现，这也不意味着这一理论被完全抛弃，而是意味着它的修改与提炼……因此，希尔伯特在关于一致性方面的这一奇怪的立场并不是数学形式主义观念的一部分。[6][7]166

科里不要求一个先行的一致性证明，这是对自弗雷格以来人们探索数学基础基本动机的忽视。

人们希望为数学寻找一个安全的基础，或是逻辑或是形式化的公理系统，以避免可能的谬误。

弗雷格作为典型的实在论者可以不像希尔伯特那样寻求一个有穷数学的一致性证明。

因为在他看来：“公理不会彼此矛盾，因为它们是真的；而这不需要一个证明。”[8]这里的证明是指希尔伯特在《几何基础》中给出的相对一致性证明或是基于有穷数学的一致性证明。

显然，一则数学命题（在弗雷格看来是这则命题所表达的思想）作为公理仍然是需要辩护的，正如他在《算术基础》中所做的工作那样。

无论希尔伯特的形式主义纲领、布劳威尔及其后继者的直觉主义宣言还是引领当代集合论研究的哥德尔纲领都继承了自弗雷格以来的这一诉求。

科里诉诸物理学的比较来说明先天合法性证明是不需要的。

然而在早已数学化了的物理学中，对一致性的辩护显然是必要的。

任何物理学理论被要求与其他理论和已知现象一致。

例如，关于量子力学标准模型一致性的讨论[9]。

正是由于量子力学与广义相对论之间显然的冲突，人们清楚地意识到一个涵盖所有四种基本力的万物理论尚付阙如。

因此，寻找一个兼容量子力学与相对论的一致的理论始终是理论物理学的核心问题。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。