论无限（二） (6-6)

目前情况下，这个一致性问题是容易处理的。它显然归约为证明：从我们的公理，根据我们所制定的规则，我们得不出“1≠1”作为证明的最后公式，或者换句话说，“1≠1”不是一个能证明的公式。这个任务属于直觉处理的范围，正像例如在实质构造的数论中找出√2 的无理性证明——即关于不可能找到两个具有a^2=b^2 这种关系的数字符号a和b的证明，或者换句话说，关于人们不能产生两个具有某一性质的数字符号的证明——的任务一样。类似的，我们有责任表明人们不能产生某种证明。一个形式化的证明，同一个数字符号一样，是一个具体而可见的对象。我们能完全地描述它。此外，最后公式的必要性质，即“1≠1”，是证明的一个具体地可以确定的性质。因为我们事实上能证明以那个公式为最后公式的证明是不可能得到的，我们从而证明了引入理想陈述是合理的。

还有一个可喜的意外事，就是发现我们同时解决了一个很久以来一直烦扰着数学家们的问题，即证明算术公理一致性的问题。因为不论公理法用在哪里，都会出现证明一致性的问题。我们在选择、理解和运用规则和公理时当然不愿完全依赖盲目的信任。在几何学和物理学理论中，一致性证明是通过把它们的一致性归约为算术公理的一致性而实现的。但是我们显然不能用这个方法去证明算术本身的一致性。由于我们的以理想元素方法为基础的证明论使我们得以跨出这最后的重要一步，它旧成为公理学的教义拱门的必要的拱顶石。那个我们已经经理过两次的东西，一次在关于微积分的悖论中，再次在关于集合论的悖论中，就不会经历第三次，而且将永远不再经历。

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