论无限（二） (6-5)

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作出的演绎，这里每一个前提，也就是公式或者是一条公理，或者是通过代换从一条公理得出的结果，或者是前一个演绎的最后公式，或者是通过代换从这样一个公式得出的结果。如果一个公式是一个证明的最后公式，我们就说它是可证明的。

我们的计划本身指导着为我们的证明论选择公理。虽然在公理的选择方面由一些任意性，但是像在几何学中的一样，某些公理组在性质上是可区别的。这里是从每一组中取出的几个例子：

Ⅰ. 蕴涵公理：

（ⅰ）A→(B→A)

（加进一个假设）；

（ⅱ）(B→A)→{(A→B)→(A→C)}

（取消一个陈述）。

Ⅱ. 否定公理：

（ⅰ）|A→(B&~B)|→~A

（矛盾律）；

（ⅱ）~~A→A

（双重否定律）。

Ⅲ. 超限公理：

（ⅰ）(a)A(a)→A(b)

（从普遍到特殊的推理；亚里士多德公理）；

（ⅱ）~(a)A(a)→(∃a)~A(a)

（如果一个谓词不是普遍适用的，则有一个反例）；

（ⅲ）~(∃a)A(a)→(a)~A(a)

（如果一个命题没有例子，则这命题对所有的a都为假）。

这里我们发现一个非常值得注意的事实，那就是这些超限公理都可以从单一的公理推导出来，这公理包含着下面这个在数学文献中最有争论的公理即所谓选择公理的要旨：

（ⅰ'）A(a)→A(εA)

其中ε是超限逻辑函数。

然后再把下列特殊数学公理加到刚才给出的公理上去：

Ⅳ. 等同公理

（ⅰ）a＝a；

（ⅱ）a＝b→{A(a)→A(b)}；

最后是

Ⅴ. 数字公理：

（ⅰ）a＋1≠0；

（ⅱ）完全归纳法公理。

因此我们现在就能实现我们的证明论，并构造出可证明公式的系统，即数学。但是在我们一般地为这一成就而高兴，为找到那个不可缺少的工具即在我们并未出力的情况下已经发展出来的逻辑演算而特别高兴的时候，我们却不应忘记我们的工作的主要条件。只有一个与理想元素方法相联系的条件，尽管是绝对必要的条件。这个条件就是一致性证明，因为一个域通过添加理想元素而扩充，仅当扩充不使旧的较狭的域内出现矛盾时，或者换句话说，仅当旧结构中在消去理想结构后存在的关系在旧的域内总是有效时，才是合法的。

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