论无限（三）

我们这里所概述的证明论，不但能使数学基础得到可靠的根据，而且我相信，它也为此前数学家们不能处理的基本数学问题提供了一个一般的处理方法。

在某种意义上，数学成了一个仲裁法庭，一个裁决根本问题的最高法庭——这种裁决有具体的根据，这根据是每个人都能同意，并且每一个陈述都能据此得到控制的。

在我看来，新的所谓“直觉主义”的一些断言——尽管它们可能是有节制的——必须先从这法庭获得它们的有效性证书。

能被这样处理的那种根本问题的一个例子，是每个数学问题都是可解的这样一个论题。我们大家都相信真是如此。事实上处理一个数学问题的主要吸引力之一，是我们总听到我们心里在喊：这里是问题，去求它的解吧；你只要通过思考就能找到它；因为在数学里没有永远不可知的东西（ignorabimus）。我的证明论并不能提供解出每一个数学问题的一般方法——这样的方法也是不存在的。然而这个证明（每一个数学问题都是可解的这一假定是一个一致性假定）完全在我们理论的范围内。

现在我要打出最后一张王牌。对于一个新理论的严峻考验是：它是否有能力解决那些虽然早已知道但是它并非特地被设计去解决的问题。“你们应从它们所结的果实去认识它们”这句箴言对于理论也一样使用。当康托尔发现他最初的超限数，即所谓第二数类的数时，正如我早已提到过的，立刻就产生了一个问题：这个超限计数法是否能使人们把从别处得知的、在通常意义上不可数的集合数出来。一个区间的点明显地呈现为这样一种集合。是否能用前面所列表中的数把一个区间的点即实数一一数出来，这个问题是著名的连续统问题，康托尔把它提了出来，但没有解决。虽然有些数学家曾认为他们能通过否定这连续统问题的存在性来取消它，但是下面的论述将指出他们是多么错误：连续统问题由于它的独特性和内在美而不同于其他问题。此外它还由于把这样两个性质结合起来而胜于其他问题：一方面，需要用新的方法来求它的解，因为旧方法对它不适用；另一方面，它的解本身由于那些所要获得的结果而具有莫大的重要性。

我所发展起来的理论提供了连续统问题的一个解。证明每个数学问题都是可解的，是解决这问题的第一和最重要的一步……。

最后，我们再回到我们的主题上来，对我们关于无限的全部思考作出一些结论。我们的主要结果是：无限在现实中的任何地方都找不到。它既不存在于自然界中，也不为理性思维——存在与思维之间一种引人瞩目的和谐——提供合法的基础。与弗雷格和戴德金德以往的努力相反，我们认为要获得科学的知识，某些直觉的概念和洞察力是必要条件，单凭逻辑是不够的。以无限进行的运算只有通过有限性才能成为确定的。

留给无限去起的作用只是一个观念的作用——如果我们依照康德的术语，把观念理解为一种理性概念，它超乎一切经验之外，而使具体事物得以完成为一个总体——而且是一个在由我们的理论所建立的框架内我们可以毫不迟疑地予以信任的观念的作用。

在结束时，我还要感谢贝奈斯在技术上和编辑上给予的富有才智的合作和宝贵的协助，特别是在连续统定理的证明方面。

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