论无限（二） (6-4)

的关系在于如下事实：我们在上述公式中用数字符号2，3，5，7代换a和b时，就经过一个证明程序获得了这些个别的有限性陈述，虽然这个程序是非常简单的。因此我们得出结论：a，b，＝，＋，以及整个公式a＋b＝b＋a，它们本身除了数字符号所表示的意义外，不表示任何别的意义。但是我们却能从这公式推导出其他一些公式并赋予它们以意义，即把它们解释为有限性陈述的传达。如果我们把这结论加以推广，我们就把数学设想成两种公式的堆积，首先是有限性陈述的有意义的传达所对应的那些公式，其次是不表明什么意义而只是我们理论的理想结构的另一些公式。

然而我们的目标是什么呢？一方面，我们在数学中找到了只包含数字符号的有限性陈述，例如

3＞2，2＋3＝3＋2，2＝3，1≠1，

从我们的有限性观点看来，它们是不需要什么帮助就立即能被直觉和理解的。这些陈述能被正确地或错误地否定。人们可以不受限制地对它们应用亚里士多德逻辑，而不需采取特殊的预防措施。无矛盾原理对它们是成立的；这就是说，这些陈述之一的否定与该陈述本身不能两者都为真。排中律对它们是成立的；这就是说一个陈述或者为真，或者它的否定为真。这一个陈述为假，等价于说它的否定为真。另一方面，除了这些没有任何问题的初等陈述外，我们还发现了另一些有问题的有限性陈述；例如，我们发现一些不能分成部分陈述的有限性陈述。最后，我们引入理想陈述，使普通的逻辑规律能普遍成立。但是由于这些理想陈述即这些公式，就它们不表达有限性陈述这一点而言并没有什么意义，所以逻辑演算实质上不能像应用于有限性陈述一样地应用于它们。因此必须使逻辑演算以及数学证明本身形式化。这就要求我们把逻辑关系转译成公式。因而除了数学符号外，我们还必须引入一些逻辑符号，例如

&， ∨， →， ~

（并且）（或者）（蕴涵）（否定）

而且除了数学变量a，b，c…外，还必须使用逻辑变项，即命题变项A，B，C，…。

这怎么能做的呢？幸好我们经常看到在科学发展史中起作用的那种预先建立的协调，即通过给予爱因斯坦已经充分发展了的一般化的不变微积分而帮助他建立引力论的那种预先建立的协调，也来帮助我们了：我们发现了已经事先设计出来的逻辑演算。固然，这种逻辑演算原先是从完全不同的观点出发创造出来的。逻辑演算的符号原先只是为传达而引入的。尽管如此，否认逻辑演算具有任何意义，并宣称逻辑演算的公式本身是没有什么意义的理想陈述一样。我们在逻辑演算中拥有一种符号语言，它能把数学陈述变换成公式，并利用形式程序来表示逻辑演算。完全与从实质数论到形式代数的过渡相类似，我们现在把逻辑演算中的符号和运算记号从它们的意义中抽象出来加以处理。这样一来，我们最后得到的不是用普通语言传达的实质数学知识，而只是含有按照确定规定逐次生成的数学符号和逻辑符号的一组公式而已。公式中的某一些对应于数学公理。用来从一个公式推导出另一个公式的规则对应于实质演绎。于是实质演绎就被一个由规则支配的形式程序替换了。因此，对于公理（它们虽然原先被朴素地看作基本真理，但在近代公理学中长期被作为仅仅是概念的关系来处理）和逻辑演算（它原先被认为只是一种不同的语言）都实现了从朴素处理到形式处理的严格过渡。

我们现在来简单地说明一下，数学证明是怎样被形式化的。我已经说过，某些供数学的形式结构用作建筑块料的公式称为“公理”。一个数学证明是一幅图形，它本身必须是我们的直觉易于接受的。它包含一些按照演绎模式

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