论无限（二） (6-3)

无论如何，我们注意到：如果我们停留在有限性陈述的范围内，像我们实际上必须做的那样，我们通常总有很复杂的逻辑规律。当“所有”和“存在”这两种说法结合起来并且它们的表达式嵌在别的表达式里面时，这些规律的复杂性就变得无法掌握。总之，亚里士多德所教导的和人们自开始思维时起一直用着的那些逻辑规律是不成立的。我们当然可以建立一些在有限性陈述范围内确实成立的逻辑规律。但是这样做不会对我们有用处，因为我们不愿放弃亚里士多德逻辑的那些简单规律的应用。而且任何人，即使用如簧巧舌，也阻挡不了人们去否定一般陈述，或者去构成部分判断，或者去应用排中律。长此，我们将怎么办呢？

请记住我们是数学家，作为数学家我们已经多次处于危险的境地，而依靠理想元素的巧妙方法，我们又从这些困境中得到了解救。我在本文开始时已给你们举过几个使用这方法的卓越的例子。正像引入i＝√–1把一些代数定律（例如关于一个方程的根的存在性和数目的定律）保持在最简单的形式中一样；正像引入理想因子使得简单的可除性定律对代数整数而言也能保持（例如我们为2和1＋√–5这两个数引入一个公共理想因子，而实际上这样的公因子并不存在）；同样地，为了保持通常的亚里士多德逻辑的简单形式规则，我们必须给有限性陈述补充一些理想陈述。很有讽刺意味的是：被克罗内克如此激烈地反对的演绎法，恰好就是这同一位克罗内克在库默尔在数论（被他誉为最高数学成就）方面的工作中如此热情地赞美了的东西的对应物。

那么我们怎样得到理想陈述呢？值得注意既是有利也是有希望的事实：我们只要按照自然和显然的方式沿着数学基础理论所经历过的发展道路继续走下去，就能得到它们。诚然，我们应该认识到，甚至初等数学也超出了直觉数论的观点。按照我们一向的解释，直觉的实质数论不包括使用字母的代数计算法。公式总是专一地用于直觉数论的交流中。字母代表数字符号，方程传达两个符号相重合这一事实。另一方面，在代数中，我们把含有字母的表达式看作为使数论的实质定理形式化的独立结构。代替有关数字符号的陈述，我们有一些本身就是直觉研究的具体对象的公式。代替数论的实质证明，则我们有根据确定规则从一个公式到另一个公式的推导。

所以，像代数中已看到的，有限性对象在激增。到现在为止，仅有的对象是像1，11，…11111这样的一些数字符号。只有它们曾是实质处理的对象。但是数学实践走得更远了，甚至在代数中也是如此。的确，即使从我们的有限性观点看来，一个公式对于它所表明的内容如

a＋b＝b＋a

恒成立这样一个定理而言是有效的，其中a和b代表两个特定的数字符号，可是我们却不选用这种传达形式而宁可用公式

a＋b＝b＋a

来代替。这个公式已不再是一个关于某一被表明的内容的直接传达，而是某种形式结构，它与旧的有限性陈述

2＋3＝3＋2

5＋7＝7＋5

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