论无限（二） (6-2)

我们也用字母a、b、c来传达。例如b＞a传达这一事实：数字符号b比数字符号a长。从这个观点来看a＋b＝b＋a只传达这一事实：数字符号a＋b与b＋a相同。这种传达的内容也可以通过实质演绎来证明。的确，这种直觉性实质处理可以把我们带到很远的地方。

但是现在我要举一个例子，在这个例子中这个直觉方法是被超出了的。到目前为止，我们知道的最大素数是（一个有39位的数）p＝170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727。用大家所知的欧几里得方法，我们能够完全在我们的有限性框架内证明这样一个陈述：在p＋1和p!＋1之间至少存在一个新的素数。这陈述本身是完全符号我们的有限性方法的，因为“存在”这个说法只是用来使“p＋1或p＋2或p＋3……或p!＋1肯定是素数”这个说法得到简缩而已。而且因为这显然等于说：存在一个素数，它

1. 1＞p，并且同时

2. 2≤p!＋1，

这就使我们表述出一条定理，它所表达的内容只是欧几里得定理所表达的内容的一部分。这个定理就是：存在一个＞p的素数。虽然这个定理是内容方面弱得多的陈述——它所断言的东西只是欧几里得定理所断言的东西的一部分，虽然从欧几里得定理过渡到这个定理似乎是毫无害处的，但是当这部分陈述上下文中取出而被看作一个独立的陈述时，这一过渡却包含着通往超限的飞跃。

怎么会这样呢？因为我们有一个存在陈述“存在”（there exists）!诚然，我们在欧几里得定理中也有一个相似的说法，但是正如我已提到过的，那里的“存在”不过是“或者p＋1或者p＋2或者p＋3……或者p!＋1肯定是素数”的简缩而已——正如我们不说“或者这支或者这支或者这支……或者这支粉笔是红的”，而简单地说“在这些粉笔之中存在着一支红粉笔”一样。像“在一个有限的总体中存在着一个具有某一性质的对象”这样的陈述是完全符合我们的有限性方法的。而像“或者p＋1或者p＋2或者p＋3……或者（直至无限）……具有某一性质”这样的陈述则本身是一个无限的逻辑积。这样一种推广到无限的过程，如果没有进一步的解释和预防措施的话，是和微积分中从有限乘积到无限乘积的推广一样地不许可的。因此这种推广通常是没有意义的。

从我们的有限性观点来看，形式为“存在一个具有某一性质的数”的一个存在陈述，一般地只具有部分陈述的意义，这就是说，它被当作一个更确定的命题的一部分。然而，对于许多目的来说，更加精确的表述可能是不必要的。

在分析一个不能用有限析取表达内容的存在陈述时，我们遇到了无限。同样地，当否定一个一般陈述，即涉及任意数字符号的陈述时，我们得到一个超限陈述。例如“如果a是一个数字符号，那么a＋1＝1＋a普遍地真”这一陈述，从我们的有限性观点看来是不能否定的。如果我们考虑到这个陈述不能用“和”解释为无限多个数字方程的合取，而只能解释为对于给定一个数字符号的情况断言某些东西的一个假言判断，我们对上面所说的就更加明白了。

因此从我们的有限性观点看来，我们不能论证说，像刚才给出的那样一个有任意数字符号在里面的方程，或者对每一个符号都成立，或者被一个反例所反驳。这样的论证是排中律的应用，它是以关于这样一个方程普遍有效的陈述能被否定的预设为基础的。

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