论无限（二） (6-1)

这些目标显然只有当我们完全阐明了无限的本性后才能达到。

前面我们已经看到，不论依靠何种经验、观察和知识，在现实世界中无处能找到无限。难道我们对事物的思考会与事物如此不同吗？思维过程能如此不像事物的实际过程吗？总而言之，思维能与现实离得这么远吗？毋宁说，当我们认为我们在某种真实意义上遇到了无限的时候，只是我们在现实世界中时常遇到极端大的和极端小的尺度这一事实诱使我们如此想，这难道还不清楚吗？

当我们把实质逻辑的演绎（material logical deduction）应用于真实的事物或事件时，它是不是以某种方式把我们欺骗了或者把我们置于困境？不！实质逻辑演绎是必不可少的。只有当我们作出任意的抽象定义，特别是那些包含无限多对象的抽象定义时，我们才被欺骗。在这些情况下，我们是不合法地用了实质逻辑演绎；也就是说，我们没有充分注意到那些为这种演绎的有效应用所必须的先决条件。在认识到存在着这些必须考虑的先决条件时，我们发现自己是和哲学家相一致的，尤其是和康德相一致的。康德教导我们——而且这是他学说的主要组成部分——数学处理的题材是与逻辑无关地被给定的。因此数学绝不能单靠逻辑建立起来。由此可知，弗雷格和戴德金德如此建立数学的企图是注定要失败的。

作为应用逻辑演绎和实质逻辑运算的一个进一步的先决条件，在概念形成中必须有一些东西，即某些在一切思维之前作为直接经历的事物被直觉到的逻辑以外的具体对象。要使逻辑演绎可靠，我们必须能了解这些对象的每一方面，并且它们的性质、区别、顺序和邻接关系必须连同这些对象本身作为某种不能归约为其他东西，并且不需要归约的东西被给出。这就是我认为不仅数学而且一切科学思考、理解和交流所必需的基本哲学。按照这一理论，数学的题材是具体的符号本身，它们的结构是十分清楚和可认识的。

考察一下普通有限性数论的本性和方法。这理论当然可以通过直觉的实质考虑从数字结构建立起来。但数学决非仅由数字方程组成，也决不能单单归约为这样一些方程。然而人们却可以说，数学是一种工具，当这种工具应用于整数时，必然产生正确的数字方程。但这时我们仍需足够彻底地研究这个工具的结构，以便确定它事实上必然产生正确的方程。要进行这样的研究，可供我们使用的只有那些与数论构造中推导水准方程所曾用到过的同样具体的实质有限性方法。这一科学要求事实上是能满足的，就是说有可能用纯粹直觉的和有限性的方法——我们获得数论真理性的那种方法——获得保证数学工具的有效性的那种洞察力。

现在我们来详细研究一下数论。在数论中，我们有数字符号

1，11，111，11111，

这里每一个数字符号是由于它只含有1这一事实而直觉地可认识。这些本身就是我们的题材的数字符号，其本身并没有任何意义。然而除这些符号外，甚至在初等数论中，我们还需要另外一些符号，它们具有意义，并有便于传达的作用；例如符号2用作数学符号11的缩写，数字符号3用作数字符号111的缩写。此外，我们用＋，＝和＞这样一些符号来传达陈述。2＋3＝3＋2用来传达这一事实：在考虑到缩写时，2＋3和3＋2表示同一个数字符号，即11111。同样地3＞2用来传达这一事实：符号3即111比符号2即11长；或者换句话说，后一个符号是前一个符号的固有部分。

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