形式主义与多宇宙观（二） (4-4)

一种是，得到独立性结果这种“元数学”结果所必须的命题可以作为新公理的候选；

第二种是，要证明已知独立命题（如独立于ZF的CH）所必须的命题可以作为新公理的候选。

已知的独立性元数学结果（由一对相对一致性命题组成）往往是在弱如PRA这样的有穷主义公理系统中可证的，并不需要什么扩张了现有集合论公理系统的新公理候选。

因此，第一种解读可以排除。

关于第二种解读，来自形式主义对新公理的要求是证明目标已知独立命题所必须的命题。

笔者认为，这是不合理的。

按照哥德尔纲领对新公理的标准的讨论，集合论新公理除了必须满足符合我们关于集合概念的直观这一内在性要求，还应该具有成果丰富性这一外在性要求，即可以加深我们关于集合论宇宙的理解。

除去丰富性要求，最“安全的”新公理无疑是将目标独立问题或其否定本身作为新公理，这恰好符合形式主义者的上述要求。

目前关于集合论新公理的主要候选理论（W. Hugh Woodin的终极L、力迫公理和内模型假设）都有远超连续统假设问题的丰富后承。

又或许形式主义者思考的对新公理的探究是类似反推数学的工作，后者试图厘清被广泛接受的数学成果所需要的最小二阶算术公理系统是什么。

由此，构造主义者可以在选择他们所认可的公理系统之前就了解他们能够保留什么以及必须放弃什么。

反推数学的一些工作的确被宣称为希尔伯特纲领的部分实现[13]。

但笔者认为这类工作意义在于为部分怀疑论者在选择可接受的极小系统时提供参考，所涉及的都是在柏拉图主义者看来显然成立的公理系统。

它与为集合论乃至全部数学寻找新公理的哥德尔纲领的志趣相去甚远。

综上，形式主义思想对探究新公理的作用十分有限。

① 我们用Con(T)表示“理论T是一致的”这样一则数学命题。一般通过固定一种编码方式，并假设T在这种编码方式下可以被表示为一个算术可定义的公式集，从而将“T是一致的”写成一则算术语句。

② 在典范翻译下也是一则集合论语句，即把自然数集定义为第一个无穷序数ω，再以标准的方式定义其上的运算。

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