形式主义与多宇宙观（二） (4-3)

这里我们援引递归论中的术语，用 We表示编码为 e的图灵机的定义域，或“第 e个递归可枚举集”。

我们说，ZFC 是一个递归可枚举的（实际上是递归的）公理集，也即存在一个自然数 d 使得 ZFC={σi: i∈ Wd}。

所以事实陈述中的{σi: i∈We}=ZFC实际上是 We=Wd这样一则一阶算术命题。

此外，Wd又可以被表示为一个递归函数δ的值域：Wd={δ(i): i∈N}。

事实的证明

假设ZFC={δ(i): i∈N}。

我们可以构造一个部分递归函数Φe：

δ(n)，如果∀x＜nφ(x)，

Φₑ(n)＝{

δ(n)∧0=1，否则。

我们先验证（1）：如果∀xφ(x)成立，那么We=ranΦe=ZFC。

此时，Con(We)等价于Con(ZFC)。

验证（2）：我们在ZFC中工作，如果¬∀xφ(x)，那么We中就包含0=1。

因而，¬Con(We)。

证毕。

因此，对任何真的∏º₁语句（例如，“ZFC+存在任意大的武丁基数是一致的”），我们都可以找到 ZFC的某个编码，使得Con(ZFC)蕴含这则语句。

在弗雷格这样的实在论者看来，这并没有什么吊诡的地方，因为它们都是真的。

科里认为，当我们证明一个数学命题的时候，重要的是我们证明了这个命题在某个公理系统中可证这一元数学事实。

一度作为ZFC形式主义②者的谢赫拉（Saharon Shelah）在已知ZFC关于正则基数为指数的幂所知甚少的情况下，提议尽可能在ZFC中证明关于奇异基数为指数的幂的取值上限，并证明了著名的不等式：

2ℵω＜ℵω₄

。

证明使用了谢赫拉发明的相比基数幂运算更精细的共尾可能性理论（pcf theory），涉及在各种超积模型中可能的共尾数。

这依赖于相当深刻的集合直观。

尽管所有在ZFC公理系统中的证明自然都会有相应的元定理作为副产品，但即使在ZFC形式主义者看来，他所证明的是一则关于集合的事实，而不是一则有穷的算术“元数学”命题。

事实上，没有人真正给出过见证

ZFC⊢2ℵω＜ℵω₄

的形式化证明的编码。

裘江杰在《集合论多宇宙观与形式主义》中认为形式主义能够帮助探究集合论新公理。

后者是哥德尔纲领的核心议题，也被认为是柏拉图主义面对不完全性现象的标准回应。裘江杰写道：“为获得具有某种独立性的常规数学结果所必须的命题可能可以作为新公理的候选。这一进路是形式主义的。”[3]对这句话可以有两种解读。

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