形式主义与多宇宙观（三） (3-1)

三、集合论多宇宙观与形式主义

笔者曾在《集合论多宇宙观述评》中论证集合论多宇宙观要么就是一种形式主义，要么与集合论单一宇宙观相容[2]。

近年来，围绕集合论多宇宙观的研究出现了更多的结果。

这让我们有理由再次审视集合论多宇宙观是如何推动有关数学实践的。

本节中，笔者尝试通过展示这些基于集合论多宇宙观的新进成果以显示形式主义的思想何以在其中缺位，相反它们的灵感仍然主要来自多宇宙观与柏拉图主义单一宇宙观的对话。

近年来，与集合论多宇宙观密切相关的成果中最引人注目的是薄葉季路在2017年证明的下述定理。

定理

（1）假设 V 满足 ZFC，那么 V 的地基是强向下直的（strongly downward directed）。

即对任意索引集 I 和V的地基“集”{Ni}i∈I，存在V的地基N⊂i∈INi。

（2）假设集合论宇宙 V 中存在超巨基数（hyper-huge cardinal），那么 V 的地幔（mantle）就是 V 的地基（ground）[14]。

其中，我们称 V的一个内模型 M 是 V的地基，当且仅当 V是 M 的一个集合力迫扩张，也即存在一个偏序 P∈M 以及一个(M, P)-泛型滤 G 使得，V=M[G]。

Richard Laver 和 Woodin-Joel D. Hamkins 独立证明了 V的地基可以被统一地在 V中参数定义。

V的地幔被定义为 V的所有地基的交。

由于地基们可以被统一的参数定义，地幔也是 V的一个可定义的子类。

但地幔是一个 ZFC内模型或进一步是 V的地基并不是一个平凡的事实。

集合论地质学（set-theoretic geology）由 Gunter Fuchs、Hamkins 和 Jonas Reitz 提出[15]，目的是研究V的地基组成的结构，它可以被看作包含V的整个泛型复宇宙（generic multiverse）①的一段向下的锥形（downward cone）子结构，因而也是多宇宙观框架下研究的一部分。

其中的一个重要的问题是V的地基们是否是向下直的（downward direct，即V的任何两个地基的交包含一个V的地基）或强向下直的。

地基是向下直的对整个泛型复宇宙是很重要的性质。

如果 V的地基是向下直的，那么 V地幔就是一个力迫不变的概念，即，V的任意集合力迫扩张V[G]的地基仍然是V的地基。

例如，可构成集类L和Woodin设想的终极L都是力迫不变的。

并且V的地幔也是V的内模型（V中可定义，V中传递，与V等高的ZFC模型）。

事实上，V的地幔是V的最大的力迫不变的内模型。

此外，V的地幔是V所在泛型复宇宙中任何一个宇宙的地幔，也是包含V的整个泛型复宇宙的交。

由向下直性可以证明，泛型复宇宙中的任何两个宇宙N0，N1之间可以通过先取一次地基再做一次力迫扩张从而两步连接起来。

注意，我们仍然需要足够强的大基数假设，也即在上述薄葉季路的第二个定理下，才能得到 V的地幔也是V的一个地基，从而属于包含V的泛型复宇宙。

薄葉季路的第二个结论来自假设V中存在足够强的大基数 κ，那么 V的任何地基都是通过一个＜κ的力迫得到 V的。

因此，V的地幔可以通过一步集合力迫得到 V。

他将这里的大基数假设进一步削弱为存在一个可扩张基数（extendible cardinal）[16]。

每个超巨基数是可扩张基数的极限，它本身也是可扩张基数。

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