算术公理系统之：实数（六） (5-4)

实数中的0、∞和1是三个不加定义的基本元素。加法“＋”和乘法“×”是实数遵循的两个不加定义的基本运算，基本元素0、∞和1通过这些运算可以产生新的元素。自然数、整数、有理数和无理数，乃至可区分数和不可区分数，无一例外都是基本元素通过运算得到的。当然，这个运算也包括从基本运算衍生出的新运算，比如减法和除法。所有实数两两之间都有一种大小关系，也称为值关系，即小于“＜”、大于“＞”和等于“＝”。有这种关系存在，所有实数就能保持一种内在的统一性。最关键的是第4条，实数对外具有某种适应性。

所谓适应性，就是能随着外在的变化而变化，所以讨论适应性需要引入一个外在的他者。我们将实数映射到一条直线上，让直线上的每一个点对应一个实数，正是为实数找了一个外在的他者。一个点与另一个点之间，单独看是完全没有差别的。但在直线上，每个点都有自己的相对位置，点与点之间是前后有序的，这种前后关系也称为序关系，正是借着这种序关系，点与点才得以区分。将实数一个一个地映射到这些点上，这些实数也就跟随这些点呈现出了序关系。可以说，这也是一种适应性的体现。

需要注意的是，实数呈现出了序关系，并不意味着实数本身就具有序关系，实数与实数之间只有一种基本关系，那就是大小关系。好比说，列车上的座位是固定有序的，对于坐在座位上的所有乘客，他们接受座位的规定和限制，确实会呈现出座位那样的序。但这个序不是乘客本身固有的，是临时的，一旦到站下车，他们就四散而去各回各家。

实数之间的大小关系，即小于“＜”、大于“＞”和等于“＝”，与点之间的序关系，即前于“⊰”，后于“⊱”和序等于“[公式]”，这两种关系之间确实存在某种很强的对应。对于任意两个可区分数a和b，若a＜b，则必有a⊰b；若a＞b，则必有a⊱b；若a＝b，则必有a[公式]b。并且反之亦然。以致于人们根本分不清哪个是值，哪个是序，以为大小关系就是序关系，序关系就是大小关系，大小关系是实数所固有的，便以为序关系也是实数所固有的。其实不然。

如果值序不分，那么我们就很难理解不可区分数。1＝1＋0，1是一个可区分数，1＋0是一个不可区分数，它是紧跟在1之后的一个实数，在序关系上是1⊰1＋0，而不是1[公式]1＋0，这就打破了刚才说的那种强对应。将实数映射到点上，点具有序关系，实数接受点的约束，因此也呈现出了这样的序关系。如果认为这个序关系也是实数所固有，那就相当于乘客上车入座之后，就被固定在座位上了，座位的序成为乘客所固有的属性，到站了也不能离开座位下车，这等于剥夺了乘客的人身自由。认为序关系是实数所固有，就等于剥夺了实数的自由，同时也限制了我们对实数的理解和想象。我们应当剪除实数身上附加的各种性质，还实数以自由，也是还数学以自由。

理解了什么是序关系，也就理解了什么是连续性。点在直线上是前后相继一个挨着一个排列的，那么所有映射到这些点上的实数，也就相应地变成了前后相继一个挨着一个一个排列。“前后”说的是序关系，“一个挨着一个”说的就是连续性。两者在表述上略有不同，直线的连续性是任意相邻两点之间的距离为一个点，而实数的连续性是任意相邻两个实数之间的距离为一个0。这些具有连续性的实数是仅限于放上了数轴的实数，难道还有没放上数轴的实数吗?——有：

1/2，2/4，3/6，4/8，…。

这列数中除了第一个1/2，后面的数都不在数轴上。难道它们不是实数吗?——当然是。有人说它们数值都相等，都是1/2，可以看作是同一个数。如果因为数值相等就看作同一个数的话，那么0＝0＋0，0是一个实数，0＋0是紧挨着0的下一个实数，0是可区分数，0＋0是不可区分数，它们数值相等，是同一个数，那就不会产生不可区分数的概念了，也就没有实数的连续性可言。

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