算术公理系统之：实数（六） (5-3)

连续性，无疑是实数非常重要的一种性质，但更重要的是实数本身。只要我们把实数整清楚了，实数的各种性质那都是自然呈现的，即便千难万难的连续性也只是顺带的事情。那什么是实数呢?

回答这个问题，数学家首先想到的自当是公理化方法。因为早在两千多年前欧几里得就用这种方法率先将几何公理化，通过5条公理、23个定义就将当时已知的几乎所有几何命题都推演出来。这种以简驭繁的绝妙方式，不仅让古人，就是现代人见了也觉得非常惊艳，会不自觉地去模仿。况且实数本身就是非常复杂，它包括自然数、整数，有理数和无理数，如果能够将实数公理化，做到像几何公理化那样，仅仅通过几条公理、若干定义就能将所有自然数、所有整数，所有的有理数和无理数都推演出来，那必定是惊天地泣鬼神。

原以为现行实数理论也是这么想这么干的，其实不然。前面说到现行实数理论分为两部分，一部分是实数公理，一部分是实数模型。公理部分，只是罗列实数应当满足的各种运算性质和基本关系；而模型指的是构造实数的具体方法，以及由这些方法构造出来的一个个具体的实数。也就是说在它这里，公理和模型是分离的，或者说，公理和实数是分离的。从那些所谓的公理根本推不出任何一个具体的实数。这让人百思不得其解，我们苦苦追求的不就是那些一个个具体的实数嘛，实数公理化的本义，难道不应该是让我们从公理就可以直接推演出所有实数吗?既然一个构造实数的方法就能让我们得到想要的实数，那还要实数公理干嘛呢，直接构造不就完了?这种将具体实数从公理中抽离的做法，无疑会让实数公理变成一个空壳，沦为一种摆设。

既然是摆设，可丢一边不管它，就看实数模型，就看实数的构造。戴德金分割被认为是一种构造实数的方法，它能够从无到有地构造所有实数吗?——不能。它构造不了有理数，它必须以假设有理数已经存在为前提，然后通过对有理数进行分割，分割出无理数。那有理数如何构造?——需要整数。整数如何构造?——需要自然数。数学家们将实数归结为有理数的构造，将有理数归结为整数的构造，将整数归结自然数的构造，最终的问题就是自然数如何构造?

一开始数学家们想到为自然数建立公理系统，有著名的皮亚诺公理系统行世。但是没用啊，公理与模型是分离的，从自然数公理推不出一个个具体的自然数，所以还是要找模型。待到康托的集合论大行其道之后，数学家们普遍接受了康托用集合的基数来构造自然数的方法。于是就形成这样一个长链条：用集合构造自然数，用自然数构造整数，用整数构造有理数，用有理数构造无理数，有理数加无理数便是全体实数。实数宣告构造完成。实数最终居然不是出自实数公理，而是出自一个不相干的集合，让人想不通，着实想不通。

这样构造的实数它连续吗?——不连续啊。没有一个正确的无穷观念，它怎么连续得了；以无穷小作为最小度量单位，相当于拿着米尺去量夸克，它怎么能量出两点之间的距离极致上可以有多小；从自然数到整数，从整数到有理数，从有理数到无理数，从无理数到实数，它走的是一条从离散到连续的道路，这原本就是一条艰难的道路，却还被稠密蒙蔽了双眼，看不见相邻的两个实数，注定是到不了连续的；再者说，有理数加无理数，也只不过是全体实数中很小的一部分而已。面对这样的实数理论，还能说什么，大概只能勉励一句：革命尚未成功，同志仍需努力。

如此不禁要问，实数究竟是什么?

我们不妨定义这样一个东西，它包含以下四条：

1、有若干不加定义的基本元素；

2、有若干不加定义的基本运算，通过这些运算，基本元素可以产生新的元素；

3、元素之间有一种基本关系；

4、元素对外具有某种适应性。

同时满足这四条的，称为“体”，这个“体”取自“生命体”的“体”。实数满足这四条，所以它是一个体，可以称为“实数体”。

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