算术公理系统之：实数（六） (5-2)

如果仅仅是认为有理数稠密，那还好，但是数学家们认为实数也稠密，认为任意两个实数之间还有实数，还有无穷多的实数。但刚才说，有“稠密”就不能有“连续”，这就让人尴尬了，数学家们孜孜以求的就是实数的连续性，认为实数天然或者天生就应该是连续的，就像一条直线那样。一旦认定实数稠密，那就意味着现行实数理论中的实数并不连续。实际情况也确实如此，若是有人不服气，你就指着下面这张示意图问他：

假如a＝0，那么紧挨着a的b是一个什么数，或者a的后继实数（后继数，不能只允许后继自然数吧）是多少?——现行实数理论回答不了这么一个简单的问题。

我们知道实数确确实实是连续的，任意相邻两个实数之间都不再有其他实数，所以根本就稠密不起来。要想让实数呈现出稠密的样子，那么在选取实数时，就不能是任意的，要确保每次选取的两个实数之间都间隔着无穷多的实数。然后还要经受得住好事者地检验。这个太难了。

不仅实数不稠密，其实有理数它也不稠密。就说刚才那个除以2的例子，实际上就是计算

1

─，

2ⁿ

当n取自然数取到无穷数时，这个式子是等于0的。那么我们不取无穷数，只取有穷数中最大的自然数ν，它的下一个自然数便是最小无穷数α，即ν＋1＝α。当n＝α时，

1

─＝0，

2α

那么当n＝ν时就应该不等于0，即

1

─≠0。

2ν

1

假如说式子 ──

2ⁿ

取任何一个自然数计算得到的都是有理数的话，那么

1

─

2ν

就是与0相邻的有理数，将

1

─

2ν

再除一次2，就是0了，

1

─

2ν

与0之间不再有其他有理数。算到这一步，你还认为相邻的两个有理数是做不到的吗，还去相信任意两个有理数之间还有有理数吗?

由此得到的即是这样一列数：

1 1 1 1

1，─，─，─，...，─，0。

2 4 8 2ν

如果说非要找一列数来表示一个无穷小，那么这个就是表示无穷小的完整的一列数，它有起点有终点。一尺之棰，日取其半，虽万世不竭，但若无穷世，它仍然会竭。也就是说，无穷小是可能的，而无限小是不可能的。无穷小是有限的，0就是它的限，它一定会在0之前的某个位置停下来，然后纵身到0。并不存在所谓的没完没了地、越来越、无限地接近0。其实无穷小是一个常量，不是一个变量，在数轴上是可以找到它的位置的，不需要退而求其次找一列数来表示。

将有理数和无理数统一起来看，它们是以无穷小为最小单位依次构造的可区分数，相邻两个可区分数之间的距离是一个无穷小，它们是不连续的，就像自然数那样，也是不稠密的。将有理数或者无理数从中摘出来，如同将自然数单独摘出来一样，也必然是不稠密的。

实数不稠密，有理数也不稠密，意味着什么?意味着稠密本身就像戴德金的“分割现象”一样，只是一种幻觉，只是数学家们在“无穷不可完成”这个错误观念下产生的幻觉，并不是真实存在的东西。只要我们转换一下观念，转换成“无穷可以完成”，幻觉必会自行消解。

实数体

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