算术公理系统之：实数（六） (5-1)

这个稠密跟连续一样，它考察的也是实数轴上的两点或者两数之间的距离可以有多小。零观尺度上距离的最小单位是0，而且是一个0，这个就是最小距离，没有比它更小的了。连续的两个点或者两个数之间的距离，就是一个0，相距两个0严格来讲都不叫连续。而在宏观上一个可区分的最小距离是多少?

首先它肯定要大于0，连数学家都很难想象一个物体移动一次只移动一个0的距离，一个0的距离、两个0的距离这在宏观上根本没办法去分辨，一律视作距离为0，或者没有移动距离。其次它要尽可能的小，既要大于0又要尽可能的小，这就涉及到无穷小的概念。而对无穷小的理解又取决于对无穷的理解。如果认为无穷可以完成，那么这个无穷小就是隐实数中的[公式]或者显实数中的0.000…001，这个无穷小是确定的，是可以落实到数轴上的某个点的；如果认为无穷不可完成，认为它总是在没完没了地进行当中，那么这个无穷小就不可能是某个确定的数，不可能落实到数轴上的某个点，它必然是在不断地变动之中。这样的无穷小有一个更准确的叫法，叫作“无限小”，一般用一个希腊字母ε来表示。这个无限小ε是一个变量，它自始至终要大于0，但同时又在无限地趋近于0。这个ε就是现行实数理论可以想到的最小距离，与一个0相比，它大了至少有一个量级。以这样一个变量作为最小单位，来度量两点或者两数之间的距离会怎么样呢?

诚然任意相邻两个自然数之间的距离都是1，所以对自然数就没什么好讨论的。那么相邻两个有理数之间的距离呢?一旦加上“相邻”这个限定词，就意味着要讨论的这两个有理数之间不再有其他有理数，否则就不叫相邻，那叫相间。但是数学家们发现这一点做不到，对于不论多么接近的两个有理数，只要不相等，只要不重合，它们之间就一定还存在其他的有理数。这里有一个被经常引证的例子，假设a，b为两个不相等的有理数，则必有(a＋b)/2，还是有理数。

令a＝0，b＝1，那么(a＋b)/2＝(0＋1)/2＝1/2；

令a＝0，b＝1/2，那么(a＋b)/2＝(0＋1/2)/2＝1/4；

令a＝0，b＝1/4，那么(a＋b)/2＝(0＋1/4)/2＝1/8；

……

即如果a为0，b不等于0，则不论b多么小，b到0之间都还有有理数，通过上面的式子是可以计算和验证的。由此得到b的取值或者b到0之间的距离是这样一列数：

1，1/2，1/4，1/8，…。

这列数就代表着一个具体的无限小，数列末尾的省略号即表示，无限小就像这样越来越小地一直小下去，没有终了。说明两个有理数之间的距离可以是无限小，更进一步来说，任意两个有理数之间还有有理数，还有无穷多的有理数。戴德金对此的描述是“如果a，c是两个不同的数，那么有无穷多个不同的数落在a，c之间”。这种“还有无穷多的”性质被称为稠密性，有理数第一个被认为是稠密的。

有“稠密”就不能有“相邻”，有“相邻”就不能有“稠密”。稠密之义是两个元素之间还有同类元素，而相邻之义是两个元素之间没有同类元素，它们俩在根本上是相互否定的，不可能同时成立。所以这就是为什么一旦认定有理数是稠密的，就不可能出现“相邻的两个有理数”如何如何的说法。但问题是，“相邻”与“连续”却紧密相连。相邻意味着两个元素之间没有同类元素，而连续意味着两点之间没有其他点，两数之间没有其他数。对于数轴上的点或者实数来说，它们俩是等价的：相邻则必然连续，连续则必然相邻；不相邻则不连续，不连续则不相邻。用“连续”替换“相邻”，便可以得出一个令人惊异的结论：有“稠密”就不能有“连续”，有“连续”就不能有“稠密”。如此看来，“稠密”与“相邻”不相容，“稠密”与“连续”也不相容。

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