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算术公理系统之:实数(五) (5-1)

所谓分割,就是将一组有序排列的对象一分为二,分为前后两个部分。可以想象一位数学家手中拿着一把锋利无比的屠龙宝刀,刀口的宽度只有直线上一个点的宽度,这种锋利程度放置全宇宙那也是绝对神级的存在,不可能找到比它更锋利的了。数学家拿着这把刀在一条直线上咔咔咔一顿乱砍,每次砍下去,刀口都会在直线上有一个落点,或者叫分割点,记为p点,随即直线应声在这个分割点附近断开,断开的方式不外乎三种:

1,在分割点的前面断开;

2,在分割点的后面断开;

3,在分割点前后同时断开。

第3种方式首先排除,因为它将分割点单独摘出来,使得直线分成了三个部分,而戴德金要的是两个部分。第1种方式,直线在分割点的前面断开,则分割点落在后面那部分;第2种方式,直线在分割点的后面断开,则分割点落在前面那部分。这两种方式其实没有本质区别,所以我们不妨约定,每一刀下去,直线都以第1种方式断开,分割点总是落在后面。

第三个问题,也是最关键的问题,通过这样的分割如何辨别哪些是有理数,哪些是无理数?

对着一条实数轴进行分割,我们先做这样一件事情:把实数轴上的所有数统统抹掉,将数轴还原为最朴素的直线,然后对着这条直线进行分割,结果会怎么样呢?结果就是,不论怎么分割,结果都是一模一样。

随便一刀砍下去,直线以p点为分割点断开,分为A、B两部分,p点在B中,且为B的端点;同时,与p点紧挨着的q点在A中,且为A的端点。p与q的关系是,q=p-0,意即p的前一个点是q点。也就是说,直线从任意一点断开,断口处A、B两部分都是有端点的。并且,由于直线是向两端无限延伸的,那么断开后,A向着左无限延伸,B向着右无限延伸,A、B两部分是可以完全重合的,或者说它们可以一一对应。有端点,揭示的正好是直线的连续性;可重合,揭示的正好是直线的无限性。

不论怎么分割,都是一样的结果,这不免让人心生疑虑。如果说实数是一栋建筑,那么它就是以直线为基础,建筑在直线之上的。现在对直线进行分割,分割不出有差异的结果,意味着通过这样的分割,分辨不出哪些点是平凡的点,哪些点是特异的点。那么将所有点都覆盖上实数之后,我们如何分辨哪些是有理数,哪些是无理数呢?

戴德金给出的方案是:

①、如果分割点p是有理数,则A中没有最大数,B中有最小数。因为先前的设定,实数轴上只标记了有理数,没有标记无理数,有理数是已知的,无理数是未知的,所以准确地表述应该是:如果分割点p是有理数,则A中的有理数没有最大数,B中的有理数有最小数。例如,p=2,则对于A中的任意一个有理数a,都有a<2;对于B中的任意一个有理数b,都有b≥2,最小数为2。

②、如果分割点p是无理数,则A中的有理数没有最大数,同时B中的有理数没有最小数。例如,p=√2,则对于A中的任意一个有理数a,都有a<√2;对于B中的任意一个有理数b,都有b>√2。

对①、②进行反向推演,就可以判断一个数是有理数还是无理数。即令以这个数为分割点p,将实数轴分割为A、B两部分,如果A中的有理数没有最大数,B中的有理数有最小数p,则断言p为有理数;如果A中的有理数没有最大数,同时B中的有理数没有最小数,则断言p为无理数。

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