算术公理系统之：实数（五） (5-1)

所谓分割，就是将一组有序排列的对象一分为二，分为前后两个部分。可以想象一位数学家手中拿着一把锋利无比的屠龙宝刀，刀口的宽度只有直线上一个点的宽度，这种锋利程度放置全宇宙那也是绝对神级的存在，不可能找到比它更锋利的了。数学家拿着这把刀在一条直线上咔咔咔一顿乱砍，每次砍下去，刀口都会在直线上有一个落点，或者叫分割点，记为p点，随即直线应声在这个分割点附近断开，断开的方式不外乎三种：

1，在分割点的前面断开；

2，在分割点的后面断开；

3，在分割点前后同时断开。

第3种方式首先排除，因为它将分割点单独摘出来，使得直线分成了三个部分，而戴德金要的是两个部分。第1种方式，直线在分割点的前面断开，则分割点落在后面那部分；第2种方式，直线在分割点的后面断开，则分割点落在前面那部分。这两种方式其实没有本质区别，所以我们不妨约定，每一刀下去，直线都以第1种方式断开，分割点总是落在后面。

第三个问题，也是最关键的问题，通过这样的分割如何辨别哪些是有理数，哪些是无理数?

对着一条实数轴进行分割，我们先做这样一件事情：把实数轴上的所有数统统抹掉，将数轴还原为最朴素的直线，然后对着这条直线进行分割，结果会怎么样呢?结果就是，不论怎么分割，结果都是一模一样。

随便一刀砍下去，直线以p点为分割点断开，分为A、B两部分，p点在B中，且为B的端点；同时，与p点紧挨着的q点在A中，且为A的端点。p与q的关系是，q＝p－0，意即p的前一个点是q点。也就是说，直线从任意一点断开，断口处A、B两部分都是有端点的。并且，由于直线是向两端无限延伸的，那么断开后，A向着左无限延伸，B向着右无限延伸，A、B两部分是可以完全重合的，或者说它们可以一一对应。有端点，揭示的正好是直线的连续性；可重合，揭示的正好是直线的无限性。

不论怎么分割，都是一样的结果，这不免让人心生疑虑。如果说实数是一栋建筑，那么它就是以直线为基础，建筑在直线之上的。现在对直线进行分割，分割不出有差异的结果，意味着通过这样的分割，分辨不出哪些点是平凡的点，哪些点是特异的点。那么将所有点都覆盖上实数之后，我们如何分辨哪些是有理数，哪些是无理数呢?

戴德金给出的方案是：

①、如果分割点p是有理数，则A中没有最大数，B中有最小数。因为先前的设定，实数轴上只标记了有理数，没有标记无理数，有理数是已知的，无理数是未知的，所以准确地表述应该是：如果分割点p是有理数，则A中的有理数没有最大数，B中的有理数有最小数。例如，p＝2，则对于A中的任意一个有理数a，都有a＜2；对于B中的任意一个有理数b，都有b≥2，最小数为2。

②、如果分割点p是无理数，则A中的有理数没有最大数，同时B中的有理数没有最小数。例如，p＝√2，则对于A中的任意一个有理数a，都有a＜√2；对于B中的任意一个有理数b，都有b＞√2。

对①、②进行反向推演，就可以判断一个数是有理数还是无理数。即令以这个数为分割点p，将实数轴分割为A、B两部分，如果A中的有理数没有最大数，B中的有理数有最小数p，则断言p为有理数；如果A中的有理数没有最大数，同时B中的有理数没有最小数，则断言p为无理数。

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