论无限（一） (6-5)

从大小的观点去处理这些例子，是很自然的。但这种处理揭露出许多已为今天的每一位数学家所熟悉的惊人结果。因为当我们考察所有有理数即1/2，1/3，2/3，1/4，…，3/7，…的集合时，我们注意到——即纯粹从大小的观点——这集合并不比整数集为大。因此我们说有理数可以用通常的方法计数，或者说它们是可数的。这对数的所有的根的集合，实际上甚至对所有代数数的集合，也是成立的。第二个例子与第一个相类似。出乎意料的是，一个正方形或立方体的所有点的集合并不大于0到1区间的点的集合。所有连续函数的集合也是如此。第一次了解到这些事实时，你也许会以为从大小的角度来看，只有唯一的一个无限。实际不是这样的！例（1）和（2）中的集合并不像我们所说的那样是“等价的”。集合（2）实际是不可数的，因为它比集合（1）要大。正是在这里，我们遇到了康托尔理论中的新的和特征性的东西。一个区间的点是不能用通常的方法即数出1，2，3，…来计数的。但是因为我们承认实无限，我们不必在这里停下来。当我们数了1，2，3，…之后，我们可以把这样数出的对象看作一个以特定阶同时存在的无限集。如果我们像康托尔那样把这个阶的类型称为ω，那么计数自然地以ω＋1，ω＋2，…继续下去，一直到ω＋ω或ω·2，然后再

(ω·2)＋1，(ω·2)＋2，(ω·2)＋3…，(ω·2)＋ω或ω·3，

进而

ω·2，ω·3，ω·4，…，ω·ω（或ω²），ω²＋1，…，

于是我们最后得到下表：

1，2，3，…

ω，ω＋1，ω＋2，…

ω·2，(ω·2)＋1，(ω·2)＋2，…

ω·3，(ω·3)＋1，(ω·3)＋2，…

┆

ω²，ω²＋1，...

ω²＋ω，ω²＋ω · 2，ω²＋ω · 3，...

ω² · 2，(ω² · 2)＋1，...

(ω² · 2)＋ω，(ω² · 2)＋(ω · 2)，...

ω³，...

ω⁴，...

┆

ωω，ωωω，ωωωω，...

这些就是康托尔的第一批超限数，即康托尔所说的第二数类的数。我们只是通过把计算推广到超出通常可数的无限之外，也就是通过通常有限计数的一种自然而唯一确定的一致延续，就获得这些数。正像我们迄今为止只数一个集合的第一、第二、第三……个成员一样，我们现在也数第ω、第ω＋1，……第ωω个成员。

有了这些发展，人们自然要猜想：用了这些超限数，是否真的能对那些不能用通常方法计数的集合进行计数呢？

康托尔在这些概念的基础上非常成功地发展了超限数理论，并且为超限数创造了一整套计算方法。于是在弗雷格、戴德金德和康托尔的大力协作下，无限被推上了王位，享受着大获全胜的统治。无限在它的扶摇直上中达到了惊人的高度成功。

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