论无限（一） (6-4)

正像在几何学中用无限多的直线，即相互平行的线来定义一个理想的点一样，某些由无限多的数组成的系统被用来定义一个理想数。理想元素原理的这一应用是所有应用中最巧妙的一个。如果我们在整个代数中系统应用这一原理，我们就得到对熟悉的整数1，2，3，4，…来说成立的那些完全相同的简单而熟悉的除法定律。这里我们已经进入到了高等算术的领域。

现在我们转到最富有艺术性和精巧地建立起来的数学结构：分析你们已经知道，无限性在分析中起着主导作用，在某种意义上，数学分析是有关无限的交响乐。

在微积分中所获得的巨大进展，主要是对无限多元素的数学系统进行运算的结果。但是由于把无限与“很大”等同起来似乎是很有道理的，所以不久就产生了一些不一致性，即所谓微积分的悖论，其中一部分早在古代就为诡辩派哲学家所知悉。但是，认识到许多对有限成立的定理（例如部分小于整体，极小和极大的存在，和或积各项的次序的可交换性）不能直接和不加限制地推广到无限，这标志着根本性的进展。我在本文开始时说过，明显地是通过魏尔施特拉斯的敏锐才智，这些问题已经完全得到了阐明。今天，分析不仅在它的领域内是无误的，而且已经成为应用无限的一个实用工具。

但是单靠分析还不能使我们最深入地洞察无限的本性，这种洞察只有通过一门和一般的哲学思考方法相近，而又被设计得对有关无限的整体问题从新的方面来加以说明的学科才能得到。这门学科便是康托尔创造的集合论。在本文中我们只涉及构成康托尔学说的核心的集合论中那部分独特和独创的内容，即超限数理论。在我看来，这理论使数学天才的最精美的产物，而且是人类纯粹理智活动的最高成就之一i。那么这理论是什么呢？

希望简单地刻划一下康托尔所引入的关于无限的新想法的人可以说：在分析中，我们只是把无限大和无限小当作极限概念，当作某种正在到来、正在发生的东西来研究，即我们研究的是潜无限（potential infinity）。但这不是真的无限。当我们把数1，2，3，4…的总体本身看作一个完整的统一体，或者当我们把一个区间的点看作同时存在的许多事物的总体是，我们遇到了真的无限。这种无限性称为实无限性（actual infinity）。

弗雷格和戴德金德这两位最以他们在数学基础方面的工作而著名的数学家互相独立地用实无限给与直觉和经验都无关地算术提供了一个基础。这个基础完全基于纯粹逻辑，并且只利用纯粹逻辑演绎。戴德金甚至达到不从直觉中取得有限数概念而利用无限集地概念逻辑地把它推导出来的地步。但是系统地发展实无限概念的是康托尔。考察一下上述两个关于无限的例子：

1. 1，2，3，4，…。

2. 0到1的区间的点，或者与此相同，0与1之间实数的总体。

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