论无限（一） (6-3)

我们遇到自然界中究竟有没有无限这一问题的第二个地方，是在我们对宇宙作为整体的考察中。这里我们必须对宇宙的广延性进行研究，以确定它是否拥有任何无限大的东西。但是这里又是现代科学，尤其是天文学，重新提出了这个问题，并且不是利用有缺点的形而上学思辨方法，而是根据以实验和对自然定律的应用为基础的一些理由，努力解决这个问题。这里也发现了对无限性的严重指责。欧几里得几何学必然导致空间是无限的这个公设。虽然欧几里得几何学的确是一个一致的概念系统，但是并不能由此得出结论说，它在现实世界中是成立的。实际空间究竟是不是欧几里得空间，只能通过观察和实验来确定。利用纯粹思辨证明空间的无限性的企图中包含着重大的错误。根据在一片空间之外总是还有更多空间这个事实，只能得出空间是无界而不能得出空间无限的结论。无界性和有限性是相容的。在所谓的椭圆几何学中，数学研究为有限宇宙提供了一个自然模型。在今天看来，放弃欧几里得几何学，已不单单出于一种数学的或哲学的思索，而从另外一些原先与宇宙有限性的问题完全无关的考虑中也得到了启示。爱因斯坦曾经指出必须放弃欧几里得几何学。在其引力论的基础上，他研究了宇宙论问题。并指出有限宇宙是可能的。而且天文学上的所有结果与宇宙是椭圆的这一假设是完全相容的。

我们已在两方面确定了宇宙是有限的，即在无限小的方面和无限大的方面。尽管如此，无限仍然很可能在我们思维中占有合法的地位，起着一个不可缺少的概念的作用。我们来看看在数学中的情况如何。我们先来询问一下人类心智的最纯粹最简单的产物：数论。考察数论的许多各色各样的基本公式的一个，例如公式

1

1²＋2²＋3²＋. . .＋n²＝─ n(n＋1)(2n＋1)。 6

由于我们可用任一整数来代替n，例如n＝2或n＝5，所以这公式隐然包含着无限多个命题。这个特征对一个公式来说是本质的。它使这个公式能表示一个算术问题的解，并使它的证明需要一个特殊的概念。另一方面，个别数字等式

1

1²＋2²＝─ · 2 · 3 · 5，

6

1

1²＋2²＋3²＋4²＋5＝─ · 5 · 6 · 11，

6

则可简单地通过计算来加以验证，因而个别的式子不引起特殊的兴趣。

在重要而富有成效的理想元素（ideal elements）方法中，我们遇到了关于无限性概念的一个全然不同和很独特的想法。理想元素方法甚至在初等平面几何中就已用到。平面的点和直线原来是真正的、实际存在的对象。对这些对象来说成立的许多公理之一是连接公理：过两点总有一条而且只有一条直线。从这公理可知两条直线至多只能交于一点。可是两条直线总能交于一点这样一条定理是不成立的，因而两条直线也可以互相平行。然而我们知道，在引入理想元素，即无限长线和无限远点之后，我们能使两条直线总在一点而且只在一点相交这条定理普遍为真。这些理想的“无限”元素具有使连接定律系统变得尽可能简单明了的优点。由于点和直线之间的对称性，产生了几何学中富有成果的对偶原理。

采用理想元素的另一个例子是代数学中大家熟悉的复虚量，它们使那些有关一个方程的根的存在性和根的数目的定理得以简化。

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