论无限（一） (6-1)

摘自《数学哲学》 保罗·贝纳塞拉夫 希拉里·普特南 编

《论无限》大卫·希尔伯特 著 [P210] 于1925年6月4日发表

魏尔施特拉斯运用他鞭辟入里的批判给数学分析奠定了牢固基础。他通过阐明许多概念，特别是极小、函数和微商的概念，消除了那时依然存在于微积分中的种种缺点，使微积分摆脱了有关无穷小的一切混乱概念，从而解决了由无穷小概念所产生的各种困难。如果今天在分析中对于运用以无理数和极限的概念为基础的演绎法有完全一致的意见和确信无疑的看法，并且如果甚至在有关微分方程和积分方程的最复杂的问题中，尽管用了不同种类极限的最巧妙和多样的组合，对所得结果还是能够一致同意，那么这种令人愉快的事态主要是由于魏尔施特拉斯的科学工作。

然而，尽管魏尔施特拉斯为微积分奠定了基础，但有关分析基础的争论依旧在进行下去。

这些争论之所以没有结束，是因为在数学中的无限这一概念的意义一直没有完全解释清楚。魏尔施特拉斯的分析确实通过把有关无限大和无限小的陈述归约为[有关]有限量之间的关系[的陈述]而消除了无限大和无限小。但是这个无限仍然出现在定义实数的无限数列中，并出现在被认为是一个同时存在的完备总体的实数系统的概念的。

魏尔施特拉斯在他的分析基础中，无保留地接受了并且重复地采用了有无限概念在其中起作用的那些逻辑演绎形式，就像当人们处理具有某一性质的所有实数，或论证存在着具有某一性质的实数的时候。

这样一来，无限又能以另一种隐蔽的方式在魏尔施特拉斯的理论中重新出现，从而离开了他的批判所赋予的精确性。因此我们需要彻底解决的是在刚才所指出的意义上的无限问题。正像在微积分的极限过程中，在无限大和无限小的意义上的无限被证明为仅仅是一种比喻一样，我们也必须认识到，仍旧在演绎法中使用的无限总体意义上的无限仅仅是一种假象而已。正像对无限小的运算被对有限的运算代替而产生完全不同的结果和导致完全相同的优美的形式关系一样，以无限为基础的演绎法一般地也必须用有限过程来代替，这些过程产生完全相同的结果，也就是说，它们是相同的证明链和获得公式和定理的相同的方法成为可能。

我的理论的目的在于一劳永逸地建立数学方法的明确可靠性。这是一个甚至在微积分的关键时期内都没有完成的任务。因此这个理论应该完成魏尔施特拉斯希望用他的分析基础去完成，并且已为之跨出了必要和重要的一步的东西。

但是对阐明无限概念来说，还有一个更普遍的观点是有关的。细心的读者将会发现，数学文献中充满着许多源自无限的愚蠢和荒谬的东西。例如，我们发现有些作者坚持认为、就好像这是个限制条件：在严格的数学里只有有限步骤的演绎是证明中所允许的——好像曾经有人成功地作出过无限步骤的演绎似的。

我们以为早已被抛弃掉的陈旧的反对意见，也仍旧以各种不同形式重新出现。例如，近来出现如下的情况：尽管可能无危险地，也就是说不发生矛盾地引入一个概念，甚至人们能证明它的引入不引起矛盾，但仍不能因而证明引入这概念的合理性。这不正是人们一度曾经为反对复虚数而提出的非难吗？当时人们说：“确实，它们的使用并不导致矛盾。但它们的引入是没有根据的，因为虚量并不存在。”如果对于一种措施来说，在证明它无矛盾以外，证明它是否合理的问题还要有任何意义的话，那么这种意义只能在于确定这措施是否会有相当的成功。事实上，这种成功是必要的，因为在数学中和其他场合一样，成功是最高法庭，任何人都得服从它的裁决。

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