算术公理系统之：实数（七） (2-1)

我们在直线上任取一点标记为0，然后在0点右侧一个适当的位置任取一点标记为1。0点确定了，1点确定了，那么0到1之间的所有点也就确定了，相应的所有实数也就确定了。第一次我们这么做了，得到一个长度为L的线段；紧接着第二次我们在另一条直线上任取一点标记为0，然后在0点右侧一个2倍L的距离处标记为1，0点确定了，1点确定了，于是0到1之间的所有点也就确定了，相应的所有实数也就确定了。

问题就是这两条线段上的实数完全一样吗?注意，这两条线段上的点都是有限集，不用去考虑它们之间会出现一一对应，一定是长线段比短线段多。短线段的长度为L，长线段的长度为2L，如果说短线段上点的数量为∞个的话，那么长线段上点的数量就为2∞，是短线段的2倍。一个点对应一个实数，也就意味着长线段上实数的数量是短线段的2倍。说明在数量上两条线段上的实数就不一样。如果说长线段上的实数真的比短线段多，也就意味着长线段上有短线段上没有的实数。但是，我们在长线段上任意标记一个具体的数，比如：1/2，1/4，1/8，…，在短线段上都同样能标记出来。那么所谓的多，多在哪呢?

这就需要分析实数的结构了。0到1之间的所有实数分为可区分数和不可区分数两部分，可区分数部分是可以用无穷小数的形式全部表示出来的，即：

0.000…000

0.000…001

0.000…002

…

0.999…998

0.999…999

这些可区分数是确定的，是不会变的，不论它们出现在短线段还是长线段上，其数量和数值都是一样的。但相邻两个可区分数之间的不可区分数却是可以变动的。从第一个可区分数0.000…000到第二个可区分数0.000…001，假设在短线段上需要经过∞个0点，即

0.000…001＝0.000…000＋0×∞，

那么在长线段上它要经过的0点数量则可以是2∞，即

0.000…001＝0.000…000＋0×(2∞)，

如果是这样，从0.000…000到0.000…001，在长线段上的不可区分数就要比在短线段上的不可区分数多1倍。原来多，是多在不可区分数上。

由此我们可以猜测实数是如何铺满整条线段的：对于0到1之间的所有实数，它是先将所有可区分数均匀地分布在选定的线段上，然后可区分数之间的间隙则由不可区分数顺势填满。不论这条线段的长度是L，还是2L，它能保证每条线段上的可区分数都一样，但相邻两个可区分数之间间隔的不可区分数，则随着点的数量变化而变化，间隔的点多，它就多生成不可区分数；间隔的点少，它就少生成不可区分数。这会儿，长线段上势必会出现短线段上没有的实数。

实数便以这种像弹簧一样的方式来适应线段长度的变化，使得不论你在宏观上选取怎样的一条线段作为一个单位长度，即任意选取0点和1点的位置，它都能保证在这个长度的二分之一处正好有一个实数1/2，在四分之一处正好有一个实数1/4，在八分之一处正好有一个实数1/8，…，实数与长度做到完美契合。

由局部扩展到整体来看，一条实数轴是由0、∞和1这三个原始数，在直线上具体选取的位置来决定的，它们选取的位置稍有不同，得到的就是不同的数轴。这里面有很大的自由度，只要是适当的位置可以任意选取，一旦选定，0到∞之间的所有自然数首先均匀铺上0点到∞点之间的线段；然后是0到1之间，1到2之间，2到3之间，…，所有被自然数分隔出的线段都均匀地铺上相应的可区分数；最后可区分数与可区分数之间的间隙由不可区分数顺势填满。于是一条数轴上0到∞之间的部分就全部覆盖上了实数，[0，∞]这是我们最常用到的区间，∞之外的部分覆盖的都是收敛到∞的不可区分数，这些不常用可以不论。

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