算术公理系统之：实数（一） (6-5)

隐实数中的可区分数β₁，β₂，β₃，…还不是一类具体的实数，而是一类抽象的实数，它们起到一个提示逻辑结构的作用。也就是说，如果沿着正方向，第一个数是0，那么紧挨着的下一个不等于0的数就被称为β₁，它比0大，具体大多少还不知道。但可以确定的是只要它存在，只要它出现，它就一定满足β₁＝0＋0×∞，这样一个算术结构。换言之，如果没有长度的点构造出了有长度的线，那么这个长度一定是由无穷多个点构成的；如果0加0加出了大于0的数，那么一定是加过无穷多个0之后才得出的。说白了就是由存在倒推出它存在的结构，这个结构是一个逻辑性的。

从0到β₁，是从一个点、两个点开始；从加一个0、两个0开始。经过有穷个点，加过有穷个0，得出的是不可区分数；而经过无穷个点，加过无穷个0，如果遇到一个线段有长度，它就得出一个可区分数。从β₁到β₂，从β₂到β₃，…，直至碰到无穷数时为止，都是在重复这个相同的逻辑。一旦进入无穷数，则不论经过多少个点，加过多少个0，结果都是∞，数值上不再有差别。从有穷到无穷，从可区分数到不可区分数，再到另一个可区分数，隐实数即是以这样一种抽象而奇葩的方式与直线上的所有点一一对应。

直线是连续的，能与直线上的所有点一一对应，便也意味着连续。隐实数中的可区分数，0、β、∞，以及无穷多以可区分数为本数的不可区分数，即0'、β'、∞'，共同完成了实数的连续性。这是与几何连续性相对应的算术连续性，从元实数到隐实数一直都保持着这种连续性。

从一堆全是0的元实数，到一堆可区分数与不可区分数相交织的隐实数，这两类实数都还不是我们通常理解的实数。通常理解的实数包括像自然数、整数、有理数、无理数，乃至超越数，这些都是一个个具体的实数。对数学家而言，它们是真实存在的，不像元实数和隐实数那么玄乎。而站在隐实数的角度来看，这些数都是确定的收敛到自身的数，不会收敛到其他数，所以它们都是可区分数；站在元实数的角度看，它们对应的不是0，就是收敛到0的不可区分数0'或者－0'。

很显然，在元实数和隐实数之外还存在一类实数，这类实数应当包含通常理解的实数，即有理数加无理数，称为“显实数”。元实数、隐实数以及显实数，三类实数凑到一起综合来看，可以形成一个明显的层次结构。实数，承载着数学家们对“数”的一个极其重要的期待，或者说实数的首要任务，是能够严丝合缝地覆盖一条直线，确保从直线上任取一点都能找到一个相应的实数。有点而没有数，是一件非常尴尬的事情。现在看来覆盖一次可能还不够，我们给它覆盖三次。

那么从元实数开始，它可以严丝合缝地覆盖在一条直线上，像盖上一床被子，这是第一层，称为始基层。顾名思义，这是最简单、最原始的实数，原始到只有0以及收敛到0的不可区分数。始基层往上覆盖的是逻辑层，这一层的实数是隐实数，它就变得稍微复杂一点，有了很多很多的可区分数与不可区分数，包括有穷的和无穷的。逻辑层往上覆盖的是度量层，这一层的实数是显实数，显实数蕴含最为丰富的信息，也最为复杂，它除了包含所有的有理数加无理数之外，还包括所有收敛到这些有理数和无理数的不可区分数。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。