算术公理系统之：实数（一） (6-4)

任意相邻两个可区分数之间由无穷多的不可区分数填满，以这种可区分数与不可区分数交错往复的方式，我们可以再一次做到与直线上的所有点一一对应：

当然这里为图便捷，选择纵向的方式，并只展示了正方向上所有点对应的实数，负方向上的只需将“＋”号变为“－”号即可。对，这些也是实数，也是能与直线上的所有点一一对应的实数，称为“隐实数”。

相对于元实数的荒芜，隐实数包含的信息稍微多了一点。元实数全部是0，根本不能标记出由点构造的线的长度，它提示的只是点与点之间最简单的相对位置，从一个点到另一个点，相应的就是从一个元实数到另一个元实数，没有额外信息。而隐实数中出现了不等于0的可区分数β和∞，我们将讨论范围限定在正方向上，即所有β都大于0，大于0就意味着这些数可以标记出大于0的长度。由此实现从元实数到隐实数，从不能标记有长度到能标记有长度的跨越。而β所标记的“有长度”都还只是有穷的，涉及无穷的，则交由∞来标记。于是从有穷到无穷，线段要多长有多长，相应的数都可以给它安排上。

有了元实数概念，就可以清晰地回答这样一个问题：在正方向上，第一个实数是0，那么紧挨着0的第二个实数是多少?——毫无疑问，是0＋0；有了隐实数概念，就可以回答这样一个问题：大于0的最小可区分数是多少，或者说大于0的最小正数是多少，亦或者说无穷小是多少?

是紧挨着0的下一个可区分数：β₁。还有比它更小的非0正数吗?——没有了，它就是大于0的最小正数，它就是无穷小，在它前面比它小的，就是0以及收敛到0的不可区分数。但是这个收敛到0的不可区分数有无穷多，因为

β₁＝0＋0×∞，

也就意味着从无穷小到0之间还隔着无穷多个数，只是这些数在数值上并不大于0，而是等于0。如果不能理解元实数的话，这个确实也没法理解，也不好再多解释。

那么接下来的问题是，无穷小具体在哪个位置，或者说它既要比0大，又要尽可能的小，到底能有多小?——不知道，就目前来说隐实数所能提供的信息还不足以清晰地回答这个问题。

可以简单算一下：

β₁－0＝0＋0×∞－0＝0×∞，

从0到β₁（即无穷小）中间隔着∞个点，即0×∞，但是0×∞＝x，这个x并不是一个具体的数，而是一个抽象的数，它包含所有可能的数，其中包括无穷小，也包括0啊。如果0×∞＝0，也就是说从0点经过∞个点之后，它还是收敛到0，还是一个以0为本数的不可区分数。这是允许的，它完全可以在下一个点、在下下一个点才收敛到。这就意味着，隐实数中所有可区分数之间的相对位置存在很大的不确定性，0到β₁之间，β₁到β₂之间，多一个点或者少一个点，多一个0或者少一个0都是合法合规的。你也可以将这理解为实数版的“越宏观越确定，越微观越不确定”。

为了便于操作，我们还是将有穷数中任意相邻两个可区分数之间间隔的无穷多个点，规整为一致的无穷多个，让它们列队时看起来整齐一些，像这样：

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