算术公理系统之：实数（一） (6-3)

这些元实数，即0、0'和－0'，说白了就是一堆的0，没啥实际用处。要知道，直线有无限长，从中随便截取一小段都得有个长度，而且这些长度都是由没有长度（即长度为0）的点构造的。没有长度的点是如何构造出有长度（一般认为，至少大于0才叫“有长度”）的线的呢?——坦白说，这还是一个千古未解之谜——与之对应的算术问题就是，0加0如何才能加出大于0的数来呢?显然，光有元实数回答不了这个问题。

一切从公理出发，一切向公理回归。0加0，加多少个0才能得出不是0的数呢?——答案是无穷多个，即0积公理：0×∞＝x。这里的x表示所有可能的数，当然也包括任何一个大于0的数。

第一个实数是0，

紧挨着0的下一个实数是：0＋0，

0＋0的下一个实数是：0＋0＋0，

再下一个实数是：0＋0＋0＋0，

……

如此下去，要加∞个0之后才可能得出第一个不是0，或者说大于0的数。因为这个数不再收敛到0，所以它就不再是以0为本数的不可区分数，而是0之后的第一个可区分数，记作β₁，即

β₁＝0＋0×∞，并且0＜β₁

那么接着从β₁开始，紧挨着β₁的下一个实数是：β₁＋0，

β₁＋0的下一个实数是：β₁＋0＋0，

再下一个实数是：β₁＋0＋0＋0，

……

于是又要经过无穷多个以β₁为本数的不可区分数之后，才能到达β₁的下一个可区分数β₂，即

β₂＝β₁＋0×∞，并且β₁＜β₂

按照这个逻辑推演下去，自然有

β₃＝β₂＋0×∞，

β₄＝β₃＋0×∞，

……

当可区分数β足够大足够接近∞时，它会从有穷领域迈入无穷领域，变身为无穷数。有穷领域遵循的规则是0＋x＝x，以及0×∞＝x，0加0要加过无穷多个0之后才能得出下一个可区分数；而无穷领域奉行的规则是∞＋x＝∞，在这里只有一个可区分数∞（跟0一样，∞的可区分性也是由算术公理给定的），其他无穷数都是收敛到∞的不可区分数∞'。正如元实数中只有一个可区分数0，其他都是收敛到0的不可区分数0'。同是大于0，有穷和无穷确乎有所不同，运算性质都发生改变了。

由此不难看出，实数的构造，不论是有穷数还是无穷数，无穷都是深度参与其中的。那么很大程度上，有一个什么样的无穷观念就决定了有一个什么样的实数理论。

目前我们遇到的两类不可区分数，一类是基于0的运算性质而产生的不可区分数0'和β'，一类是基于∞的运算性质而产生不可区分数∞'，在这里汇集。可区分数是一，不可区分数是多，众多的不可区分数都收敛到一个可区分数，不可区分数都以可区分数为根本，意味着抓住了所有可区分数也就抓住了所有不可区分数。为此将所有可区分数提溜出来排成一列（注意，β的下标1，2，3，…指的并不是自然数，这时它们还没有数的含义，只是借来表示差异的符号。在不加区分的情况下，也会直接省略下标）：

0＜β₁＜β₂＜β₃＜β₄ . . .＜∞

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