算术公理系统之：实数（一） (6-2)

点，大小为0，不可再分，这样的性质对应的是哪个数?

0，只有0才具备这样的性质。0的值就是0，它的本义就是没有，“没有长度＝长度为0”。0/2，0/3，…，不论怎么对它进行分，只要不让它与0分，结果都是0，说明0也不可再分。以0去对应点，魔术师出一个点，数学家出一个0；魔术师再出一个点，数学家再出一个0；…。一个点长度是0，两个点长度还是0；一个0是0，两个0，0＋0，还是0；…。点与0成双对，真可谓绝配，谁曾想几何性质与算术性质在它俩之间能有如此好的对应。而点代表着几何的最深层，0代表着算术的最深层，它俩的对应意味着几何与算术在最深层的联姻。

就这样，魔术师出第一个点，数学家出一个0与之对应；魔术师在第一个点的右边增加一个点，数学家就以0＋0与之对应；再增加一个点，数学家再加一个0，以0＋0＋0与之对应；…。如果魔术师在第一个点的左边增加一个点，那么数学家就以0－0与之对应；再增加一个点，就再减一个0，以0－0－0与之对应；…。总之，魔术师在右边增加点，数学家就加0；在左边增加点，数学家就减0。魔术师出多少个点，数学家就以相应的多少个0去对应，直至魔术师用点构造出一条直线。这样的骚操作竟如此奇葩，不是疯子或者土匪估计都不敢这么想乃至这么干。

0，由算术公理给出，很容易将它从所有数中区分出来，是一个可区分数，那么像这些：

0＋0，0＋0＋0，0＋0＋0＋0，…，

0－0，0－0－0，0－0－0－0，…。

叫作不可区分数，它们的值最终都等于0，与0不可区分，它们是以0为本数的不可区分数，正方向上的记作0'，负方向上的记作－0'。

这些也能称之为数吗?——当然了。

首先可以类比自然数的构造：

1＝1

1＋1＝2

1＋1＋1＝3

……

自然数就是通过以1为最小单位进行累加，只不过累加的结果并不收敛到1；而这里以0为最小单位进行累加，虽然它们都收敛到0，但形式上与自然数的累加是一致的，单位不同而已。一般在数学上，只要两者之间在形式上具有某种一致性，就认为它们具有某种同一性，可以从某种意义上将它们视作同一个东西。

其次，这些数的构造方式与点构造直线的方式是同步的，它们必然满足“一个点对应一个数，一个数对应一个点，点与数一一对应”的要求。你可以随手画一条直线，在当中取一点标记为0，然后在这个点的右边或者左边任取一点，就一定能找到一个以“0＋0”或者“0－0”为基础构造的数，与之对应。一个点对应的是0，另一个点对应的是0＋0，点与点可区分吗?——可区分，那么0与0＋0就是可区分的，或者说它们在数序上是可区分的。这些不可区分数，虽然在数值上不可区分，但它们的存在性只要能在直线上找到相应的点为其背书，我们就有理由认为它们是真实的。

能与直线上的点一一对应的数不就我们通常理解的实数嘛，这些数就是货真价实的实数。除了0，我们知道0是有理数，那么所有这些收敛到0的不可区分数，是有理数还是无理数呢?——谈论有理数和无理数的前提是整数，这时只有一个0，所以有理数和无理数都无从谈起，意味着在我们通常理解的实数之外还有一类实数我们不曾认知。看它们这般原始，姑且称为“元实数”。

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