算术公理系统之：实数（一） (6-1)

目录

三层实数的构造 ▹

实数为什么比自然数多 ▹

2维与1维如何一一对应 ▹

新旧观念的较量 ▹

开区间与确界原理 ▹

戴德金分割 ▹

相邻、连续和稠密 ▹

实数体 ▹

三层实数的构造

问什么是自然数，我们自信知道什么是自然数，还能一个个全列出来；问什么是有理数，我们知道有理数就是整数或者整数之比，也有办法把它们一个个全列出来；问什么是无理数，我们知道无理数是不能表示成整数之比的数，但是没办法把它们一个个全列出来，列出来都是这个样子：√2，√5，e，π，...；最后问什么是实数，一般认为有理数加无理数便是全体实数。

倘若就这样回答，自然也没办法把实数一个个全列出来，于是有人认为实数不可列。

俗话说不能一条道走到黑，大可换个角度，从几何的角度来理解实数。借助几何直观容易想到，能不能将所有实数映射到一条直线上，使得直线上有一个点就对应一个实数，有一个不同的点就对应一个不同的实数，最后直线上有多少个点相应就有多少个实数。

在想象中，直线是向着两端无限延伸的，它由一个一个的点构成，这些点从左往右肩并肩依次排列，直观上可以认为这些点已经一个一个全列出来了。那么如果能将所有实数映射到这些点上，让它一个点对应一个实数，一个实数对应一个点，点与实数一一对应，是不是也就意味着我们将所有实数按照点的方式一个一个全列出来了?——这确实是个很好的想法，且不说能不能将全体实数都列出来，但至少它提示了一种构造实数的新思路。

直线由点构成，而且是由点一个挨着一个构成。可以随手画一条直线，然后任意选取一个局部放大来看，它都应该是一个样子，点挨着点，点挨着点，不会有别的样子：

那么基于几何直观，对于一条直线上的任意一个点，可以概括出这样两条性质：

1、任意一个点的前后都是点，点与点之间没有间隙；

2、任意一个点都是直线的中点，从中点将直线对折，对折的两部分可以完全重合。

第1条说明直线由点构成并且连续；第2条可以确保直线有无限长。

现在想象一位魔术师，经他手可以变出很多很多的点，像变扑克牌那样，一个一个的，要多少有多少，没有限制。他要为我们表演从一个点开始构造一条直线。与此同时，旁边有一位数学家，魔术师每给出一个点，数学家就要相应地给出一个实数；魔术师每增加一个点，数学家就要增加一个实数。这对数学家来说，不论换作此前的哪个时代，估计都是一次不小的考验。如果你是这位数学家打算如何应对呢?

最简单的办法就是魔术师出第一个点，我出1；出第二个点，我出2；再出一个点，我出3；…。自然数是我们不假思索便可以脱口而出的，况且它有无穷多，应付一下自当没问题。但是这仅仅停留在计数思维，应对下来的结果顶多是知道出了多少个点，还没有考虑到点的几何性质。

点是没有部分的，意味着它的大小为0，如果我们要度量一个点的长度，那么无疑它的长度为0。两个点的长度呢，两个0，长度还是0；三个点呢，三个0，长度还是0；…。另外，点还可以再分吗，有半个点，有三分之一个点吗?——没有，点是几何中不可再分的最小单位。

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