计数 (3-1)

摘自《数学简单与高深》席南华 著 [P136]

数字的出现无疑与计数有关。计数有时很简单，比如集合{甲，乙，丙}含有三个元素，n个数1，2，…，n的排列数是n的阶乘，有时很不容易，如一个国家的人口数很难得到准确的值。计数是数学分支组合学研究的问题。不管怎么说，对有限集，理论上计数是件简单的事情，一个一个数就行了。但无限集事情就比较麻烦，比如有理数和无理数谁多呢？如果你有一个面积无限的王国，增加或损失几百万平方千米的国土对你都无所谓。

或许你们读过伽莫夫的科普作品《从一到无穷大》，从中可以知道如果一个旅店有无穷多的客房，哪怕住满了客人，仍能安排一个新来的客人：把原来住1号房的客人换到2号房，住2号房的客人换到3号房，…，这样1号房就可以空出来给新来的客人住了。如果一个旅店的客房数有限，这样的事情就办不到了。这些事实表明有限的世界和无限的世界有本质的不同。

怎样比较无限的集合呢？我们不能像有限集那样斤斤计较多一个元素少一个元素，那不是无限的本质。德国数学家康托尔（Cantor）找到了比较无限集大小的办法，建立了集合论。

康托尔利用映射来比较集合的多少，这个办法对有限集和无限集都管用。康托尔利用一一映射建立了等势的概念。一个集合A到集合B的映射称为一一映射如果它把不同的元素映到不同的元素，并且B里面每个元素都有A里的元素映过来。两个集合称为等势如果它们之间有一一映射。两个有限集等势的充要条件是它们所含的元素个数一样。

对无限集，等势是个有趣的概念，准确把握了无限的本质，忽略了次要的因素。

等势的集合只是表明两者势力相当，犹如兵来将挡，水来土掩，不表明两者有一样多的元素。实际上一个无限集合可以和它的子集等势，如整数集和自然数集等势，它们之间的一一映射可以构造如下：0映到0，负整数a映到正奇数2|a|-1，正整数a映到正偶数2a。和自然数或它的子集等势的集合称为可数集。这是一个容易理解的概念。下面很有意思的结果是康托尔证明的。

定理2（康托尔，1874）（1）有理数集合是可数集。

─

（2）有理数域的代数闭包Q是可数集。

（3）实数集不是可数集。

1877年，在一封给戴德金（Dedekind）的信中康托尔还证明了单位线段中的点集和n维空间的所有点集等势，特别实数和复数等势。

我们来看一下这个定理的一些含义。有理数显然比自然数多得多，但居然是可数的，数的时候要小心，不然会数得乱糟糟的。下面给出一种数的办法。

每个非零有理数都可以写成两个整数a和b的商a/b，其中a和b没有大于1的公因子。于是有理数可以先按a和b的绝对值的和的大小分成若干部分排序，每一部分再数，所以一种数法是

0，1，-1，1/2，2，-1/2，-2，1/3，3，-1/3，-3，

1/4，2/3，3/2，4，-1/4，-2/3，-3/2，-4，…。

─

有理数的代数闭包Q中的数无疑比有理数多得多，居然也是可数的，这很容易让人感到惊讶。想想看，对每一个正的有理数a，都能通过开方衍生出无限个无理数，即无穷数列

1 1 1

α，α ─，α ─，…，α ─，…

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